Антикоммутаторное соотношение в гамильтониане Боголюбова-де Жена

Я почти решил задачу Эквивалентность гамильтониана Боголюбова-де Жена для нанопроволоки . В следующих шагах я использовал обозначение arXiv:0707.1692 :

Ψ † "=" ( ( ψ ↑ † , ψ ↓ † ) , ( ψ ↓ , − ψ ↑ ) )

и

Ψ "=" ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( ψ ↓ † , − ψ ↑ † ) ) Т .

Я пытаюсь показать, что гамильтониан для нанопроволоки с индуцированной близостью сверхпроводимостью

ЧАС ^ "=" ∫ г Икс   [ ∑ о ϵ { ↑ , ↓ } ψ о † ( ξ п + α п о у + Б о г ) ψ о + Δ ( ψ ↓ † ψ ↑ † + ψ ↑ ψ ↓ ) ] ,

можно записать как

ЧАС ^ "=" 1 2 ∫ г Икс   Ψ † ЧАС Ψ

с ЧАС "=" ξ п 1 ⊗ т г + α п о у ⊗ т г + Б о г ⊗ 1 + Δ 1 ⊗ т Икс (здесь т я – матрица Паули для пространства частица-дырка и ⊗ означает произведение Кронекера).

Здесь я вычисляю в качестве примера первый и третий члены Ψ † ЧАС Ψ .

т г Ψ "=" ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , − ( ψ ↓ † , − ψ ↑ † ) ) Т "=" ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( − ψ ↓ † , ψ ↑ † ) ) Т

⇒ ( ( ψ ↑ † , ψ ↓ † ) , ( ψ ↓ , − ψ ↑ ) ) ξ п ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( − ψ ↓ † , ψ ↑ † ) ) Т "=" ( ψ ↑ † , ψ ↓ † ) ξ п ( ψ ↑ , ψ ↓ ) Т + ( ψ ↓ , − ψ ↑ ) ξ п ( − ψ ↓ † , ψ ↑ † ) Т "=" ψ ↑ † ξ п ψ ↑ + ψ ↓ † ξ п ψ ↓ − ψ ↓ ξ п ψ ↓ † − ψ ↑ ξ п ψ ↑ †

Теперь я использую антикоммутаторное соотношение { ψ о , ψ о ′ † } "=" дельта о , о ′ ⇔ ψ о ψ о † "=" 1 − ψ о † ψ о

⇔ 2 ψ ↑ † ξ п ψ ↑ + 2 ψ ↓ † ξ п ψ ↓ − 2 ξ п

Однако термин − 2 ξ п здесь ошибаются.

Для третьего члена я получаю

ψ ↑ † Б о г ψ ↑ + ψ ↓ † Б о г ψ ↓ + ψ ↓ Б о г ψ ↓ † + ψ ↑ Б о г ψ ↑ † "=" ψ ↑ † Б о г ψ ↑ + ψ ↓ † Б о г ψ ↓ − ψ ↓ † Б о г ψ ↓ − ψ ↑ † Б о г ψ ↑ + 2 Б о г "=" 2 Б о г

Кто-нибудь видит мою ошибку?

Ответы (2)

я определяю ЧАС ∼ ψ α † ξ α β ψ β , где я забыл сумму/интегралы и все эти скучные кадры. я также определяю ξ α β ≡ ξ ⋅ о "=" ξ 0 + ξ Икс о Икс + ξ у о у + ξ г о г чтобы иметь наиболее общий однотельный гамильтониан, записанный в компактной форме. Гамильтониан одного тела тогда читается в матричных обозначениях

ЧАС ∼ ( ψ ↑ † ψ ↓ † ) ( ξ 0 + ξ г ξ Икс − я ξ у ξ Икс + я ξ у ξ 0 − ξ г ) ( ψ ↑ ψ ↓ )
как можно легко проверить.

Теперь нужно добавить двойное пространство частица-дырка (пространство Намбу). Можно использовать это (антикоммутационное соотношение)

ψ α † ξ α β ψ β "=" − ξ α β ψ β ψ α † + дельта α β ξ α β "=" − ψ β ( ξ α β ) Т ψ α † + дельта α β ξ α β
и вы получаете неизбежный след над энергией одного тела. Это, тем не менее, перенормирует вашу энергию стандартным образом, и обычно этот дополнительный член отбрасывается. Таким образом, мы получаем
ЧАС ∼ 1 2 ( ψ ↑ † ψ ↓ † ψ ↑ ψ ↓ ) ( ξ ⋅ о − я о у Δ я о у Δ − ( ξ ⋅ о ) Т ) ( ψ ↑ ψ ↓ ψ ↑ † ψ ↓ † ) − 1 2 Тр { ξ ⋅ о }
в смешанной записи (блочная матрица посередине, полные векторы по краю). Обратите внимание на единственную важную вещь, которая здесь ( ξ ⋅ о ) Т "=" ( ξ ⋅ о ) * и только о у компонент меняет знак (посмотрите на свой α п о у т г член в гамильтониане BdG)

Ваше соглашение об упорядочивании основано на очевидном изменении основы по сравнению с моей. Затем вы выбираете представление для тензорного произведения, и все готово. Еще раз, вы не можете избежать конечного термина трассировки, но большинство людей забывают его обсуждать. Он почти не играет роли, за исключением случаев, когда вы хотите описать некоторые эффекты, связанные с фазовым переходом сверхпроводимости (например, чтобы правильно написать свободную энергию, она вам нужна).

И еще одно: гамильтониан, который вы дали, в настоящее время немного известен тем, что содержит майорановские фермионы. Если вы диагонализируете спин-часть, вы получите п -волновая эффективная сверхпроводимость при низких энергиях.

Не должно ли это быть ξ β α Т (с бета, альфа поменялись местами) в строке, где вы используете антикоммутационное соотношение?

Это идеальный ответ. Я хочу переписать гамильтониан как тензорное произведение (здесь произведение Кронекера)

ЧАС ∼ ( ξ ⋅ о − я о у Δ я о у Δ − ( ξ ⋅ о ) Т ) "=" ξ 0 1 ⊗ т г + ξ г о г ⊗ т г + ξ у 1 ⊗ о у + Δ о у ⊗ т у .

Теперь моя проблема связана с термином спин-орбитальной связи. ξ у 1 ⊗ о у что здесь иначе, чем в литературе. Это на физическом аспекте нормально? Я знаю, что приложенное магнитное поле в члене зеемановского поля должно быть перпендикулярно спин-орбитальному полю, что в этом случае выполняется.

Извините за этот поздний ответ. Вы должны просить о точности в качестве комментария, а не в качестве ответа... что... ну, для ответа :-) Я не уверен, что понимаю ваше последнее утверждение. Обычно единственное, что вам нужно сохранить, это симметрия, каким бы ни было ее представление. Итак, пока у вас есть некоторый эффект Зеемана вдоль г -ось (что бы это ни значило, здесь это означает, что у вас есть термин час о г ) и спин-орбитальное взаимодействие вдоль перпендикулярной оси (здесь что-то вроде в п о Икс , у , с в скорость, чтобы сохранить измерение энергии) вы в порядке. Веселиться.
Антикоммутаторное соотношение в гамильтониане Боголюбова-де Жена
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v