Обычно большие калибровочные преобразования определяются как те элементы которое не может быть плавно преобразовано в преобразование личности. Группа просто связано, и поэтому мне интересно, почему существуют преобразования, которые не связаны с личностью. (Другой способ сформулировать это — сказать, что большие калибровочные преобразования не могут быть построены из бесконечно малых.)
Явным примером большого калибровочного преобразования является
Как я могу явно увидеть, что невозможно преобразовать это преобразование в преобразование тождества?
я могу определить
и конечно
Таким образом, я нашел гладкую карту который трансформирует в преобразование личности. Так в каком смысле это не связано с трансформацией идентичности?
Оформлено иначе: в каком смысле верно, что и не гомотопны, хотя отображение существует? Я предполагаю, что по мере того, как мы меняемся из к , мы как-то выходим из целевого пространства , но я не уверен, как я могу это увидеть.
Кроме того, если мы можем записать большое калибровочное преобразование в виде экспоненты, не означает ли это явным образом, что мы получаем конечное большое калибровочное преобразование из бесконечно малых?
Согласно этой статье , определяющей особенностью больших калибровочных преобразований является то, что функция в показателе степени является единственным в какой-то точке. Является ли эта сингулярность причиной того, что мы не можем преобразовать большие калибровочные преобразования «везде» в тождественные преобразования? И если да, то как мы можем это увидеть?
Редактировать: у меня есть еще одна идея из этой статьи . Там авторы заявляют, что мало найти карту , с указанными выше свойствами, но дополнительно эта карта должна иметь следующий предел
Редактировать 2: как упоминалось выше, не существует только гладкой карты между и , если мы ограничимся теми калибровочными преобразованиями, которые удовлетворяют
Поэтому загадка заключается в том, почему мы это делаем. Кажется, я не один этим озадачен , ведь Ицыксон и Зубер пишут в своей книге QFT :
«на самом деле нет очень убедительных аргументов в оправдание этого ограничения».
Калибровочную теорию нельзя рассматривать исключительно локально, ей присущи глобальные особенности, которые нельзя увидеть локально. Правильная математическая формализация калибровочной теории Янга-Миллса состоит в том, что калибровочное поле является соединением на главном пучке над пространством-временем . Однако на практике оказывается, что физики на самом деле не хотят быть самим пространством-временем, но компактифицированным пространством-временем .
Мы можем видеть это наиболее ясно в построении инстантона BPST на евклидовом : Калибровочно-инвариантный след самой напряженности поля выглядит как и везде четко определена, убывая к бесконечности. Но если мы рассмотрим связанный калибровочный потенциал , обнаруживается, что он не везде четко определен, он идет как , который является единственным для , но четко определенный для в качестве , куда по сути, это калибровочное преобразование, которое вы записали в своем вопросе.
Итак, мы хотим как физически допустимая напряженность поля, но соответствующая ей не является четко определенным на . Точка зрения расслоения не может нам помочь, потому что все расслоения над евклидовым пространством тривиальны, т. е. всегда должен быть определен глобально . Однако если перейти к как конформная компактификация и отождествить один из полюсов с «бесконечностью», а другой с нулем, то становятся возможными нетривиальные расслоения, и мы получаем два локальных описания на северном и южном «полушариях», которые мы обычно можем распространить на всю сферу , кроме одного точка . Если местное описание распространяется на всю сферу, то главное расслоение калибровочной теории тривиально.
Но мы уже видели, что конкретные мы выбрали не распространяется на , а на самом деле топологический инвариант отличен от нуля, что означает, что расслоение нетривиально, что означает не может распространяться на всю сферу. В частности, невозможно найти который четко определен в каждом и имеет четко определенный предел к бесконечности, что дает нам решение инстантона BPST .
Таким образом, у вас есть ровно два варианта: либо мы должны рассмотреть калибровочную теорию на вместо этого на , или инстантоны BPST - фактически все инстантоны - на самом деле не являются разрешенными решениями калибровочной теории. Стандартная физика выбирает первое в свете вклада инстантонов в обнаруживаемые вещи, такие как осевая аномалия.
Теперь, когда мы знаем, что рассматриваем основной пучок , калибровочное преобразование является автоморфизмом, сохраняющим слои , и может случиться так, что они не гомотопны тождественному отображению . В качестве игрушечного примера рассмотрим -пучок , который является тором, и калибровочное преобразование , принимающее каноническое вложение и обматывает его один раз по кругу . Поскольку число обмотки является гомотопическим инвариантом, образ , как путь, не гомотопен источнику и, следовательно, это преобразование не гомотопно тождеству. Это большое калибровочное преобразование в собственном математическом смысле, как оно определено в статье в Википедии и обсуждается, например, в этом ответе Дэвида Бар Моше . На самом деле я не уверен, существуют ли «настоящие» большие калибровочные преобразования на в этом смысле, но я считаю, что нет.
Не имея формального аппарата главных расслоений, физик часто смешивает два разных объекта — калибровочные преобразования , которые спускаются к функциям в локальном описании и функция перехода , которые являются функциями, подобными калибровочным преобразованиям которые определяют пакет в локальном описании и не существуют глобально. Оба и выполнять определенные условия совместимости, чтобы быть глобально четко определенными.
Теперь, если физик делает калибровочное преобразование, он обычно рассматривает только , что означает, что они неявно задают калибровочное преобразование для другого локального описания — открытого множества вокруг - быть тривиальным. Затем условие совместимости говорит, что на . В локальном описании физика это перекрытие есть сфера на бесконечности , т. е. поведение калибровочного преобразования как . Таким образом, условие, что что смущает вас, Ицыкона, Зубера и, вероятно, бесчисленное множество других, есть не что иное, как условие, что , данное в этом локальном описании, на самом деле поднимается до правильного калибровочного преобразования на расслоении .
А которое этого не делает, либо должно быть дополнено соответствующим преобразованием в другом локальном описании, либо оно меняет пучок , то есть физик заявил, что он изменил функцию перехода, а тем самым (вероятно) и пучок. связки более классифицируются по картам "на экваторе", в полной аналогии с -связки на как описано в этом моем ответе . И в качестве , ваш становится функцией
Демосфен