Операторы создания/уничтожения и положительные/отрицательные экспоненты

Да, показать это достаточно просто. Дело в том, что оператор рождения свободного поля всегда увеличивает энергию, а оператор уничтожения уменьшает энергию. С этого момента рассуждения идентичны простому случаю гармонического осциллятора. Уравнение Гейзенберга

$$\frac{d}{dt} a^\dagger = \frac{i}{\hbar} [H, a^\dagger] = \frac{i \omega}{\hbar} a^\dagger, \quad a^\dagger(t) = e^{i \omega t / \hbar} a^\dagger(0).$$ Предполагая стандарт $(+---)$подпись, эта зависимость идет с $e^{ipx}$, поэтому коэффициент оператора создания должен быть $e^{ipx}$.

Я думаю, что понял, где была моя ошибка, я отредактировал.
Я предполагаю, что это не условность, так и должно быть.
я использую обозначение$x^{\mu} = (t,\vec{x}) = x$.
Перенося свойства скобок Пуассона на коммутаторы (т. е. квантовая), получаем, что правила равновременной коммутации между операторами поля и сопряженными импульсами$\pi = \partial_{0} \phi^{\dagger}$и$\pi^{\dagger} = \partial_{0} \phi$являются:

$$[\phi(x) , \pi(y)]_{t} = [\phi^{\dagger}(x) , \pi^{\dagger}(y)]_{t} = i \delta^{3} (x - y) (1)$$ Все остальные коммутаторы равны нулю, и здесь субиндекс $t$, означает, что коммутаторы вычисляются за одинаковое время.
Правильный способ записать поля и сопряженные импульсы: $$\phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3}} \int \frac{d^{3}p}{\sqrt{2 \omega_{p}}}\left(a(p) e^{-ipx} + b^{\dagger} (p) e^{ipx} \right) (2)$$ $$\phi^{\dagger}(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3}} \int \frac{d^{3}p}{\sqrt{2 \omega_{p}}}\left(a^{\dagger}(p) e^{+ipx} + b (p) e^{-ipx} \right) (3)$$ $$\pi^{\dagger}(x) = \partial_{0} \phi(x)=\frac{-i}{(2\pi)^{3}} \int \frac{d^{3}p}{\sqrt{2 \omega_{p}}} \omega_{p} \left( a(p) e^{-ipx} - b^{\dagger} (p) e^{ipx} \right) (4)$$ $$\pi(x) = \partial_{0} \phi^{\dagger}(x)=\frac{-i}{(2\pi)^{3}} \int \frac{d^{3}p}{\sqrt{2 \omega_{p}}} \omega_{p} \left( -a^{\dagger}(p) e^{ipx} + b(p) e^{-ipx} \right) (5)$$ Из этих выражений вы можете получить операторы двух типов (обратите внимание, что до сих пор я не называю их операторами «создания» и «уничтожения») с точки зрения полей и сопряженных импульсов: $$a(p)= \int \frac{d^{3} x}{\sqrt{2\omega_{p}}}\left(i \pi^{\dagger} (x) + \omega_{p} \phi(x)\right) e^{ipx}$$ $$a^{\dagger}(p)= \int \frac{d^{3} x}{\sqrt{2\omega_{p}}}\left(-i \pi(x) + \omega_{p} \phi^{\dagger}(x)\right) e^{-ipx}$$ $$b(p)= \int \frac{d^{3} x}{\sqrt{2\omega_{p}}}\left(i \pi(x) + \omega_{p} \phi^{\dagger}(x)\right) e^{ipx}$$ $$b^{\dagger}(p) = \int \frac{d^{3} x}{\sqrt{2\omega_{p}}}\left(-i \pi^{\dagger} (x) + \omega_{p} \phi(x)\right) e^{-ipx}$$ С приведенными выше выражениями можно вычислить коммутаторы между операторами $a$и $b$(и их кинжал), обнаружив, что единственными ненулевыми коммутаторами в импульсном пространстве являются: $$\boxed{[a(k),a^{\dagger}(p)]_{t}=[b(k),b^{\dagger}(p)]_{t} = \delta^{3} (k-p)}$$ Дело в том, что только теперь , взглянув на приведенное выше отношение в рамке, вы можете определить $a$, ( $a^{\dagger}$), $b$,( $b^{\dagger}$) как операторы уничтожения (сотворения), относящиеся к двум разным семействам гармонических осцилляторов. Просто потому, что прямоугольные соотношения — это как раз те, которые хорошо известны для гармонического осциллятора.
В конце концов, единственный способ получить коробочные соотношения, а значит, и единственный способ определить природу рождения и уничтожения операторов — это построить свою теорию поля с определением полей и сопряженных импульсов (2),( 3),(4),(5). Если вы инвертируете знак экспоненты, вы не найдете прямоугольных отношений, и поэтому вы не можете говорить об операторах создания и уничтожения.