Физический смысл преобразования Лежандра

Question

Физический смысл преобразования Лежандра

Физика
Термодинамика
Гамильтонова-формализма
Лагранжиан-формализма
Классическая-механика

gsAllan

Я хотел бы знать физический смысл преобразования Лежандра , если таковые имеются? Я использовал это в термодинамике и классической механике, и это казалось только смена координат?

Владимир Калитвианский

См. Arxiv.org/abs/0806.1147 .

Тим

Смотрите также physicstravelguide.com/advanced_tools/legendre_transformation

Жуоран Хе

Хотя он часто используется, он не всегда так хорошо себя ведет. Например,

d (\frac{{Икс}^{3}}{3}) знак равно {Икс}^{2} d Икс,

Можно выполнить преобразование Лежандра, чтобы изменить переменную из

x

x

Икс

в

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

{Икс}^{2}

с помощью

d (\frac{{Икс}^{3}}{3}) - d ({Икс}^{2} \cdot Икс) знак равно {Икс}^{2} d Икс - {Икс}^{2} d Икс - Икс d {Икс}^{2},

который затем сводится к

d (- \frac{2}{3} {Икс}^{3}) знак равно - Икс d {Икс}^{2},

Хотя это все еще правильное отношение дифференциации, в глобальном масштабе

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 {Икс}^{3} / 3

не является функцией

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

{Икс}^{2}

потому что дано

x^{2}

x^{2}

x^{2}

x^{2}

{Икс}^{2}

функция

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 x^{3} / 3

- 2 {Икс}^{3} / 3

всегда может принимать два значения для

x \neq 0

x \neq 0

Икс \neq 0

,

Ответы (3)

Физический смысл преобразования Лежандра

Смотрите также physicstravelguide.com/advanced_tools/legendre_transformation
Хотя он часто используется, он не всегда так хорошо себя ведет. Например, $d (\frac{{Икс}^{3}}{3}) знак равно {Икс}^{2} d Икс,$ Можно выполнить преобразование Лежандра, чтобы изменить переменную из $x$ $x$ $Икс$ в $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ ${Икс}^{2}$ с помощью $d (\frac{{Икс}^{3}}{3}) - d ({Икс}^{2} \cdot Икс) знак равно {Икс}^{2} d Икс - {Икс}^{2} d Икс - Икс d {Икс}^{2},$ который затем сводится к $d (- \frac{2}{3} {Икс}^{3}) знак равно - Икс d {Икс}^{2},$ Хотя это все еще правильное отношение дифференциации, в глобальном масштабе $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 {Икс}^{3} / 3$ не является функцией $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ ${Икс}^{2}$ потому что дано $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ ${Икс}^{2}$ функция $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 x^{3} / 3$ $- 2 {Икс}^{3} / 3$ всегда может принимать два значения для $x \neq 0$ $x \neq 0$ $Икс \neq 0$ ,

Любош Мотль · Answer 1

Видеть

http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation#Applications

В теоретической физике основные или определяющие математические свойства преобразования Лежандра используются для переключения между одной формой энергии - или "потенциалом", как обобщенные энергии называются в термодинамике - другой.

Это важно для переключения между лагранжианом в абстрактной механике, который зависит от $x, v$ $x, v$ $Икс, v$ (положения и скорости) к гамильтониану, истинной энергии, которая зависит от $x, p$ $x, p$ $Икс, п$ ,

В термодинамике число применений и «типов переключателей» еще выше. Вы можете перейти от энергии к энтальпии или свободной энергии Гельмгольца или свободной энергии Гиббса путем преобразования Лежандра относительно различных переменных. Преобразование идет назад и вперед. Как объясняется в примере из Википедии, есть и другие полезные переменные, которые вы можете преобразовать с помощью Лежандра, включая заряд и напряжение.

Вы можете считать преобразование Лежандра «простым» переопределением переменных - но именно поэтому оно так важно на практике. В действительности, различные способы описания системы, которые отличаются преобразованием Лежандра, являются «одинаково фундаментальными» или «одинаково естественными», поэтому часто полезно быть знакомым со всеми из них и знать, каковы отношения между ними. Соотношение задается преобразованием Лежандра.

-1: «одинаково фундаментальными» или «одинаково естественными» являются любые обратимые изменения переменных. Практическими являются те, которые помогают отделить новые переменные и / или привести уравнения в «разрешимую» форму. Если проблема не разрешена в лагранжевой форме, она остается таковой в форме Гамильтона.
@Vladimir: все они одинаково фундаментальны в том смысле, что формулировки полностью эквивалентны (конечно, должны быть выполнены обычные условия выпуклости и т. Д.). Таким образом, это позволяет вам решить, какая формулировка является лучшей для данной проблемы. Но это именно то, что сказал Любош, поэтому я не понимаю, с чем вы не согласны ...

Wouter · Answer 2

Преобразования Лежандра обычно используются в термодинамике (для переключения между различными независимыми переменными) и в классической механике (для переключения между формализмами Лагранжа и Гамильтона). Но вы правильно спрашиваете: что такое преобразование Лежандра? От куда это? Что заставляет это работать?

В (1D) классической механике, например: если мы имеем лагранжиан $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (q, \dot{q} [, t])$ $L (Q, \dot{Q} [, T])$ почему мы можем определить переменную

п знак равно \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}

и ожидаем, что сможем построить новую функцию ( гамильтониан )

ЧАС (Q, п [, T]) знак равно п \dot{Q} - L (Q, \dot{Q} [, T])

что ведет себя хорошо? Какая связь между обеими функциями?

Давайте посмотрим на лагранжиан и гамильтониан в качестве руководящего примера. Я буду держать его достаточно абстрактным / общим, но обозначение лагранжиана / гамильтониана может помочь сделать вещи более конкретными и понятными.

Одна вещь, которую я сделаю, однако, будет опускать явную зависимость от времени. Это не важно для нашего анализа, и чаще всего действительно не будет явной зависимости от времени. Кроме того, я буду обозначать $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{q}$ $v \equiv \dot{Q}$ уделять меньше внимания отношению к $q$ $q$ $Q$ , поскольку это не важно для преобразования Лежандра.

Так что нам нужно для преобразования Лежандра?

Ну, во-первых, нам нужны две переменные $v$ $v$ $v$ , $p$ $p$ $п$ которые являются однозначными функциями друг друга. Еще один способ выразить это $p$ $p$ $п$ должна быть монотонной функцией $v$ $v$ $v$ и наоборот. На рисунке 1 показан пример такой функции.

v и p - однозначные функции друг друга
Рисунок 1. Пример однозначного отношения между $v$ $v$ $v$ и $p$ $p$ $п$ ,

Для таких переменных всегда можно построить пару функций со свойством, что дифференцирование одной из функций по одной из переменных дает вторую переменную. Эквивалентно, производная второй функции по этой второй переменной дает первую переменную.

В нашем примере классической механики функции, которые мы можем построить для наших двух переменных $v$ $v$ $v$ и $p$ $p$ $п$ являются лагранжианом $L (q, v)$ $L (q, v)$ $L (q, v)$ $L (q, v)$ $L (Q, v)$ и гамильтониан $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $H (q, p)$ $ЧАС (Q, п)$ , $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ Они удовлетворяют (по определению) дифференциальным отношениям

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial v} & знак равно п \\ \frac{\partial ЧАС}{\partial п} & знак равно v \end{aligned}

Почему это работает?

Действительно, почему мы можем построить такие функции? Посмотрите еще раз на рисунок 1. То, как настроен график, выглядит как график $p$ $p$ $п$ как функция $v$ $v$ $v$ , Так что, если мы интегрируем эту функцию между $0$ $0$ $0$ и некоторая ценность $v$ $v$ $v$ (показано на графике), ответ, который мы получаем, - оранжевая область под кривой. Этот интеграл - наша первая функция! Действительно, если мы вернемся к обозначению нашего классического примера (я собираюсь опустить $q$ $q$ $Q$ зависимость отныне):

L (v) знак равно \int_{0}^{v} п (v^{'}) d v^{'}

так как

\frac{\partial L}{\partial v} знак равно \frac{\partial}{\partial v} \int_{0}^{v} п (v^{'}) d v^{'} знак равно п,

Теперь, если мы рассмотрим кривую на рисунке 1, чтобы быть $v$ $v$ $v$ как функция $p$ $p$ $п$ (поверните график, если вам это станет понятнее), мы можем сделать аналогичные рассуждения. На этот раз мы интегрируем между $0$ $0$ $0$ и $p$ $p$ $п$ где $p$ $p$ $п$ был выбран, чтобы соответствовать нашим ранее $v$ $v$ $v$ , $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ Этот интеграл является нашей второй функцией; Итак, с точки зрения нашего 1D классического примера:

ЧАС (п) знак равно \int_{0}^{п} v (п^{'}) d п^{'},

Возможно, вы заметили, что мы описали прямоугольник с интегралами (и, следовательно, две функции $L$ $L$ $L$ и $H$ $H$ $ЧАС$ ). Этот прямоугольник имеет общую поверхность $p \cdot v$ $p \cdot v$ $п \cdot v$ , Но мы также рассчитали его поверхность на две части: зеленую и оранжевую. Следовательно, сумма обоих должна быть равна $p v$ $p v$ $п v$ , Это дает преобразование Лежандра

L (v) + ЧАС (п) знак равно п v

или

ЧАС (п) знак равно п v - L (v)

,

Как преобразование Лежандра работает на практике?

Вот план 3 шага:

Начните с вашей первой функции, например $L (v)$ $L (v)$ $L (v)$ , $[$ $[$ $[$ или $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ $U (S)$ для термодинамического примера $]$ $]$ $]$ $]$
Найти сопряженную переменную по дифференцированию:
$п знак равно \frac{\partial L}{\partial v} [T знак равно \frac{\partial U}{\partial S}]$
Построить вторую функцию
$ЧАС (п) знак равно п \cdot v - L (v) [(- F (T)) знак равно T \cdot S - U (S)]$
и вставьте сопряженную переменную, где вы можете, т.е. заменить $v$ $v$ $v$ $[S]$ $[S]$ $[S]$ $[S]$ $[S]$ с выражением $v (p)$ $v (p)$ $v (п)$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ $[S (T)]$ на протяжении всего выражения.

Частично из рисунка 1 теперь должно быть ясно, что эти две функции не только вообще отличаются друг от друга, они описывают вещи с другой точки зрения (нам пришлось рассматривать кривую на рисунке 1 один раз как функцию $p (v)$ $p (v)$ $п (v)$ и один раз как функция $v (p)$ $v (p)$ $v (п)$ ). Функции дополняют друг друга, и их тесная связь определяется преобразованием Лежандра.

$^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ Это также функции $q$ $q$ $Q$ , но это не важно. Они могут быть функциями любого числа различных переменных, хотя их список переменных, очевидно, будет таким же, за исключением $v$ $v$ $v$ и $p$ $p$ $п$ , Действительно, преобразование Лежандра не меняет никаких других зависимостей. Если это неясно сейчас, это должно стать так до конца этого объяснения.

$^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ $^{2}$ Обратите внимание, что это где однозначность отношения между $v$ $v$ $v$ и $p$ $p$ $п$ требуется для. Если $v (p)$ $v (p)$ $v (п)$ была парабола, например, тогда будет неопределенность, о которой $p$ $p$ $п$ соответствует $v$ $v$ $v$ мы использовали.

Это самое ясное объяснение, которое я когда-либо видел. Спасибо

Ник Алджер · Answer 3

Это не «физическая» интуиция как таковая, но я считаю, что интерпретация преобразования Лежандра с выпуклым анализом является наиболее информативной.

Выпуклое множество однозначно определяется его поддерживающими гиперплоскостями, а преобразование Лежандра представляет собой кодирование выпуклой оболочки эпиграфа функции с точки зрения ее поддерживающих гиперплоскостей. Если функция является выпуклой и дифференцируемой, то поддерживающие гиперплоскости соответствуют производной в каждой точке, поэтому преобразование Лежандра представляет собой перекодирование информации функции в терминах ее производной.

Вот несколько ссылок, которые иллюстрируют концепцию:

http://jmanton.wordpress.com/2010/11/21/introduction-to-the-legendre-transform/ (отличное подробное объяснение)

http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/NAIA07/naia07_h3_slides.pdf (вычислительная перспектива)

http://maze5.net/?page_id=733 (графическое / визуальное объяснение на моем сайте. Не слишком продвинутое, но с большим количеством картинок)

Это верный и полезный способ взглянуть на вещи, но принципиально он не объясняет, почему преобразование является инволюцией.

Физический смысл преобразования Лежандра

gsAllan

Владимир Калитвианский

Тим

Жуоран Хе

Ответы (3)

Любош Мотль

Владимир Калитвианский

Marek

Wouter

Так что нам нужно для преобразования Лежандра?

Почему это работает?

Как преобразование Лежандра работает на практике?

Ranza

Ник Алджер

Джесс Ридель

Лагранжиан поля Шредингера

Гамильтонова теорема Нетера в классической механике [дубликат]

Лагранжева, кинетическая и потенциальная энергия с двумя массами, соединенными с тремя пружинами [закрыто]

Обобщенные силы и потенциальная энергия

Почему тепло, добавляемое в систему при более низкой температуре, вызывает увеличение энтропии?

Классическое доказательство гиромагнитного отношения g = 2 g = 2

Динамические переменные в лагранжевом формализме

Зачем рассматривать сложное скалярное поле и его комплексное сопряжение как два разных поля?

Закон идеального газа: поршень вообще будет двигаться?

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)