Предыстория: Я гитарист-любитель. В детстве я обучался индийской классической музыке. Большая часть того, что я знаю о теории музыки, взята из книг или Google. Поэтому, пожалуйста, поправьте меня или скажите, если я ошибаюсь.
Меня всегда беспокоило то, как появился мажорный лад. Будучи студентом индийской классической музыки, я начал с са, ре, га, ма, па, дха, ни, са', которые аналогичны западным до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до' (примечание что клавиша по умолчанию для обоих — C). Из того, что я могу сказать, эти две системы, кажется, не имеют общего происхождения. Поэтому мне всегда было интересно, будет ли естественно появляться мажорная гамма в любой музыкальной системе.
Я всегда считал, что должна быть какая-то математическая причина возникновения мажорной гаммы. Я пытался вывести его сам, используя идеальный интервал в качестве первой ступеньки, но так и не смог ни к чему прийти. Книги и Интернет говорят вам о свойствах, полученных из мажорной гаммы, но не наоборот.
Поэтому мне было интересно, знает ли кто-нибудь, как появилась мажорная гамма? Является ли это естественным математическим выводом о том, как мы воспринимаем музыку, или это просто вековая установка? Действительно ли совпадение, что две культурно разные музыкальные системы имеют одинаковую техническую основу?
tl; dr Простой ответ: «Масштаб мажора исходит из серии обертонов».
Я не знаю истории, которая, я подозреваю, звучит примерно так: «мажорная гамма такая, потому что людям нравилось ее звучание». Но я знаю математику, которая может помочь объяснить, почему людям нравится, как это звучит.
Начнем с первых принципов, многие из которых вы, вероятно, уже знаете. Начнем с того, что звук — это вибрация. Мы воспринимаем звук через вибрацию барабанной перепонки и крошечных костей (молоточек, наковальня и стремечко) в наших ушах. Чаще всего мы слышим вибрации в воздухе, хотя, когда мы говорим, наши собственные головы также вибрируют, внося свой вклад в звук, который мы воспринимаем как собственный голос — вот почему наши голоса звучат для нас иначе, чем для других людей, и почему большинство людям не нравится записанный звук их собственного голоса.
Итак, нота в чистом виде — это некоторая вибрация на некоторой частоте, измеряемой в герцах (Гц). Например, по соглашению в Соединенных Штатах оркестры настраиваются на высоту тона 440 Гц (ля).
Теперь, когда мы говорим, что высота тона имеет определенную частоту, например, A составляет 440 Гц, это в основном теоретическое упрощение. Большинство звуков не состоят из одной частоты. Если вы поете ля или играете ля на трубе или скрипке, результирующий звук на самом деле состоит из нескольких частот одновременно — основной частоты (440 Гц) и ряда связанных частот, известных как серия обертонов . Какие члены ряда обертонов присутствуют и в каких пропорциях определяют тембр (или качество тона) звука. Это то, что отличает звук голоса от трубы и скрипки. Итак, опять же, когда мы слышим звук, мы чаще всего слышим набор связанных частот.
Что такое обертоновый ряд? Частоты, составляющие серию обертонов, кратны основной частоте. В случае A440 серия обертонов включает 880 Гц, 1320 Гц, 1760 Гц, 2200 Гц, 2640 Гц, .... Принимая во внимание октавную эквивалентность, мы можем генерировать близкие частоты в пределах октавы 440 Гц:
Все эти частоты присутствуют в ряду обертонов, и поэтому они встречаются естественным образом, в той или иной степени, когда вы играете ля. Сравните эти частоты с частотами для основных тонов гаммы в Equal Temperament:
Довольно близко, правда? И на самом деле, Equal Temperament — это относительно недавний компромисс, разработанный в ответ на подобные проблемы . Дело в том, что ноты мажорной гаммы исходят из естественных обертонов, присутствующих в звуке.
Культурные источники диатонических гамм являются доисторическими, и попытки найти их происхождение включали исследования древних костяных флейт. Диатонические гаммы, включая мажорный лад, встречаются во многих культурах, но не во всех культурах. Например, в индонезийской музыке гамелана используются гаммы, называемые слендро и пелог, которые не имеют ничего общего с мажорной гаммой или любой другой диатонической гаммой. Трезвучия и тональная гармония намного новее, чем диатонические гаммы, восходящие к Европе эпохи Возрождения. В период общепринятой практики (около 1600-1900 гг.), основанной на европейской музыкальной традиции, у нас есть система мажор-минор.
Эти факты говорят о том, что нам следует очень скептически относиться к попыткам вывести мажорную гамму на основе математических принципов. Это один из множества музыкальных инструментов, которые в разное время использовались как часть различных техник и музыкальных культур. При любой попытке объяснить мажорную гамму на основе ряда обертонов или квинтового круга мы сталкиваемся с проблемой, заключающейся в том, что различные формы минорной гаммы на самом деле не подходят.
Конечно, есть причины, по которым музыкальные техники, такие как григорианское пение, полифония и тональная гармония, лучше работают с мажорной гаммой, чем с индонезийской гаммой пелог. Эти причины имеют математическое происхождение. Однако они не могут объяснить происхождение диатонической гаммы или того, что мы сейчас называем мажорным ладом, поскольку они намного старше.
Мажорное трезвучие тесно связано с серией обертонов данной основной ноты.
Еще одна физиологическая особенность состоит в том, что мы идентифицируем все ноты, частотные отношения которых равны степени 2 (2, 4, 8, 16...), как одну и ту же ноту — широко известно, что музыка всех культур идентифицирует разные октавы данного звука. тон той же ноты. Это также означает, что мы можем сократить ноты, указанные выше, на октаву, чтобы поместить их все в одну октаву.
Следующее самое основное соотношение — пятое, которое соответствует коэффициенту частоты 3x.
Обычно 4-я идентифицируется как нота, 5-я часть которой является тоникой, обратите внимание, что квинта выше F - это C. Таким образом, 4-я является инверсией 5-й.
Квинта квинты — ре (квинта до — соль, квинта соль — ре), поэтому эта нота получается простым сложением простого интервала.
В принципе, все ноты могут быть получены путем сложения пятых, что дает пифагорейский строй .
Однако большинство современных теорий тонов также считают основную терцию, соответствующую частотному отношению 5x, фундаментальной. Составление пятых, терций и их инверсий (четвертых и шестых) дает интонацию Just .
Арнольд Шенберг в своей «Теории гармонии » показывает, что мажорная диатоническая гамма состоит из мажорных трезвучий тоники, доминанты и субдоминанты. Например, это означает, что диатоническая гамма до мажор может быть построена только из тонов аккордов до мажор, соль мажор и фа мажор.
Он указывает, что ноты мажорного трезвучия — это в точности ноты первых трех уникальных гармоник , что указывает на возможный источник силы мажорных трезвучий. Еще при Пифагоре было признано, что тоны, частоты которых лежат примерно в малых целых отношениях, звучат «согласно» и приятно, когда они воспроизводятся одновременно или вскоре друг за другом.
Что касается того, почему такая почитаемая гамма должна быть основана на тонике, доминанте и субдоминанте, мы снова можем обратить внимание на гармонический ряд и Пифагора. Доминанта имеет соотношение частот 3/2 по отношению к тонике, занимая место после второй уникальной гармоники в гармоническом ряду, основанном на тонике. Соответственно, тоника находится в соотношении частот 3/2 к субдоминанте.
Если у вас есть доступ к стандартной фортепианной клавиатуре, попробуйте сыграть только ноты C (тоника), F (субдоминанта) и G (доминанта) в различных последовательностях и ритмах. Попробуйте сравнить эффект тоники с другими парами тонов (например, C, A и C#). Я обнаружил, что никакая другая комбинация всего лишь трех тонов не может лучше передать ощущение «дома» в ноте C.
Кроме того, играйте гамму до мажор, по одной ноте вверх и вниз в различных ритмах. Поскольку мажорная гамма полностью состоит из нот тонического, доминантного и субдоминантного мажорных трезвучий, попробуйте изменить упражнение следующим образом: рядом с каждой нотой гаммы сыграйте аккорд из до, фа или соль мажорных аккордов, выбор только аккорда, который содержит ноту, исполняемую в данный момент. Таким образом, вы можете играть C с CEG, D с GBD, E с CEG, F с FAC, G с CEG, A с FAC, B с GBD и, наконец, C с CEG, например. Я нахожу, что игра рядом с аккордами кажется очень заполненной версией игры в одинокой гамме. Попробуйте заменить тонические, субдоминантные и доминантные мажорные аккорды другими аккордами в до-мажорной гамме (или даже аккордами из хроматической гаммы). по-прежнему играет аккорд только тогда, когда он обладает тоном, играемым в данный момент в гамме. Кажется, что игра с тоникой, субдоминантой и доминантой мажорных трезвучий образует наиболее приятное и репрезентативное расширение одинокой мажорной гаммы, чем любые другие три аккорда (хотя другие комбинации хороши и интересны).
В свете этого игра диатонической гаммы в пошаговом движении, кажется, имеет эффект чередования «трех областей» (тоника, доминанта и субдоминанта) тональности, обеспечивая гармонический контур фундаментальной важности несколько автоматически.
В качестве краткого указания на другой важный фактор отметим присущее минорным аккордам строение и их потенциальную активность в мажорной гамме. Второй и третий тона мажорной гаммы можно рассматривать как субдоминанту и доминанту соответственно шестого тона. Попробуйте выполнить упражнения еще раз, но используя шестой тон в качестве тонического и минорного аккордов вместо мажорного тонического, доминантного и субдоминантного аккордов (таким образом играя минорную гамму по отношению к шестому тону в нашей исходной мажорной гамме).
Вот некоторые моменты, которые выделяются в моей голове относительно того, как мажорная диатоническая гамма может быть настолько важной в музыке.
Довольно легко «построить» мажорную гамму, добавив идеальные квинты (и отрегулировав октавы, чтобы полученные частоты были близки друг к другу). Начните с C, и вы получите (в этом порядке) G, D, A, E, H и F-диез, то есть всю соль мажорную гамму. (Чтобы получить до мажор, вы должны вместо этого начать с фа.) Обратите внимание, что если вы остановитесь после пяти шагов, вы получите стандартную пентатоническую гамму.
У этой гаммы есть несколько приятных практических свойств — она заполняет октаву приемлемым количеством частот (7), содержит всего два разных интервала, и эти два не слишком отличаются друг от друга. (На практике, однако, это, вероятно, не так, как это было первоначально создано - западная тональная музыка происходит от более ранних систем с меньшим количеством тонов (четыре, пять или шесть), и они не былиможно построить, нагромождая идеальные квинты, но «смежные» ноты (большие или второстепенные секунды). Например, гораздо чаще использовалось CDEFG, а не CDEGA, поэтому построение «идеального интервала», вероятно, является постфактум рационализацией шкалы, которую практики уже нашли без математических соображений. Я думаю, хорошо, что есть несколько объяснений такой фундаментальной вещи, как звуковой репертуар, которым люди насвистывают, напевают и поют.)
Я считаю, правы те, кто говорит, что все начинается с использования соотношения 3:2. Шенберг тоже прав, но система из 7 нот уже существовала до того, как была распознана мажорная гамма, поэтому его объяснение начинается, так сказать, с «середины». Мы называем соотношение частот 3:2 соотношением частот для квинты, но, конечно же, прежде чем кто-либо мог бы назвать это квинтой, должна была существовать некая гамма, или модус, или система высоты тона, поскольку это относится к соотношению двух высот внутри квинты. шкала (или мода, или система).
Складывая квинты и сдвигая их вниз так, чтобы высота тона находилась в пределах октавы, или, что лучше, чередуя квинту вверх, вниз к четвертой, вверх к пятой, вниз к четвертой, относительно легко понять, почему нужно останавливаться, когда они добраться до 8-го шага, потому что он дает ноту за пределами октавы. Когда нота помещается в октаву, получается нота, очень близкая к начальной ноте, и создается пошаговый интервал, которого нет в первых семи. Поясню на примере:
Для начала можно использовать любую частоту, но проще всего считать начальную ноту фа в нашей современной системе, потому что это создаст 7 естественных нот (белые клавиши на фортепиано). Переход от 5-го вверх к 4-му (или умножение частоты на 3/2, а затем на 3/4) дает следующее: FCGDAE B. Выстраивание их в ряд от низшего к высшему дает: FGABCD E. Мы могли бы завершите его еще одной фа, которая будет получена путем умножения начальной частоты на 2, что дает ноту на октаву выше. Фактически, это дает нам основание называть ее октавой, потому что это восьмая нота в списке. Когда математика применяется к частотам в этом списке, интервалы, созданные между соседними нотами, имеют два размера. Назовем их L (большие) и S (маленькие). Это вместо целого шага, полутона, который идет позже. Шаблон LLLSLLS. Добавив следующую ноту выше B в первый список, вы получите ноту, которую мы назвали бы F#, но она находится за пределами октавы в схеме up a 5th, down 4th, а при переносе в октаву F до F# интервал, оказывается ни L, ни S шаговым интервалом. Итак, есть причина остановиться на ноте, которую мы называем B.
Добавление октавных дубликатов этих 7 нот расширяет базовую систему. В конце концов, ноты получают имена и добавляются дополнительные ноты, знаки случайности. Мы использовали имена, какими мы их знаем, но когда-то этих имен еще не существовало. В этой расширенной системе существуют средневековые моды. Основные терции FA, CE и GB в этой системе были довольно диссонансными на большинстве инструментов, потому что между почти совпадающими гармониками возникали быстрые «биения». Соотношение частот этих основных терций составляет 81:64. Гораздо более согласный интервал возникает при соотношении 80:64, которое сокращается до 5:4. Это соотношение, которое естественно встречается в серии обертонов. Желание использовать этот интервал приводит к понятию темперамента, что является совершенно новой темой. Но для текущей цели,
Я хотел бы добавить, что я старался свести математику к минимуму, но математика, безусловно, помогает при попытке углубиться в эту тему, а требуемая математика — это в основном просто арифметика с дробями. Математика также поможет понять, что подразумевается под «биением между почти совпадающими гармониками». Развитие, теоретизируемое здесь, представляет собой систему западной шкалы. Мне кажется разумным, что что-то подобное могло произойти и в Индии, но на этом пути шли другими путями, чтобы объяснить многие различия между системами.
Sa, Re, Ga, Ma, Pa, Dha, Ni, Sa — это рага, эквивалентная западной Do re me fa so la te do.
Мажорная гамма имеет те же интервалы, что и Шанкарабхаранам.
Минорная гармоническая гамма имеет те же интервалы, что и Киравани Минорная
мелодическая гамма имеет те же интервалы, что и Гуриманохари.
Но у нас есть 12 версий каждой гаммы! это было бы похоже на 12 раг Шанкарабхаранам, написанных на разных нотах. У каждого отдельного Шанкарабхаранама будет своя Са Ре Га.
Все западные шкалы возникли в Индии и были перенесены в Эгейское море, Анатолию и, в конечном счете, в Северную Африку цыганами, начиная с греко-индийского слияния 10 века до н.э. Запад получил их из Греции, Анатолии, Египта и Аравии.
Это ВСЕ индийские весы. Обратитесь к индийским и арабским ученым за первоисточник всей западной музыки.
( https://www.amazon.com/Raga-Guide-Survey-Hindustani-Ragas/dp/B00000JT5P )
Для более узкого западного взгляда см. Гельмгольца ( https://books.google.co.uk/books?id=2CiqYQXZjIYC&pg=PA15#v=onepage&q&f=false )
Есть еще одна (структурная/математическая) причина в пользу мажорной гаммы, связанная с равномерностью гаммы.
Чтобы понять это, позвольте мне сделать небольшое отступление, соединив исторические и структурные наблюдения.
Первое основное замечание, которое я хочу сделать, это то, что нам нужно различать мажорную гамму и связанный с ней класс высоты тона. Мажорная гамма содержит несколько нот в определенных соотношениях, а также один тон, который является тоникой. В до мажоре тоникой является до. Теперь мы могли бы также рассмотреть класс высоты звука {C, D, E, F, G, A, B}, но не подчеркивая идею, что любая из этих нот должна быть тоникой. Это обобщает ваш вопрос и включает все лады мажорной гаммы, которые, в конце концов, очень часто используются в различных музыкальных традициях.
Теперь легко представить, как древние люди поют одну ноту, а затем постепенно обнаруживают, что другие ноты звучат с ними хорошо. Ряд обертонов довольно хорошо объясняет, почему квинты и четверти выше/ниже ноты и, возможно, большие терции выше/ниже ноты звучат хорошо. Но, как многие здесь указывали, кажется ложным использовать серию обертонов для мотивации всей мажорной гаммы. Такие объяснения кажутся легкими впоследствии, но они не очень правдоподобно объясняют, как древние люди отправились в это конкретное музыкальное путешествие. Ведь у них не было тех понятий, которые есть у нас сегодня, так что это вовсе не казалось бы им очевидным.
Тем не менее, если древняя культура включает в себя музыкальные интервалы квинты/четверти и мажорной/младшей терции/шестой, это имеет огромное математическое значение, поскольку использование этих интервалов предполагает своего рода разделение октавы на 12 тонов (хотя это не обязательно должно быть одинаково темперированное подразделение). Я говорю «подразумевается» здесь, потому что, по всей вероятности, кому-то потребовалось бы много времени, чтобы действительно выявить эти последствия.
Что кажется правдоподобным, так это следующее: весьма вероятно, что древние люди, экспериментируя с пением, попытались бы добавить больше нот в свой репертуар по ходу дела. Мы можем представить, как они создают песни, в которых используются 3, 4 или 5 различных звуков. Конечно, мы не можем знать, какие высоты звука они использовали, но вполне разумно предположить, что они постепенно расширяли свой словарный запас.
С точки зрения музыки, известной сегодня, есть один строй (или класс высоты тона), который, безусловно, выделяется: пентатоника . Многие музыкальные культуры мира используют эту шкалу. Поэтому, прежде чем спросить: «Почему именно диатоническая гамма?» мы могли бы спросить: «Почему пентатоника?». Между прочим, первое, на что следует обратить внимание, это то, что пентатонику можно использовать с любой из пяти позиций гаммы в качестве ключевого центра (например, если эта высота звука является гулом, по которому играется остальная часть гаммы). Что интересно в пентатонике, так это то, что она самая ровная .5-нотная шкала (выбор 5 нот из 12 в октаве), которую вы можете придумать. Интервалы распределены наиболее равномерно. Но также и интервалы между 5 нотами звукоряда имеют интересные особенности. Например, в нем много интервалов пятого/четвертого типа, нет ни тритона, ни полутона. Все это делает его очень согласным звукорядом, который довольно легко петь. Любая другая тесно связанная 5-нотная шкала гораздо менее согласна.
Теперь мы подошли к диатонической гамме. Я думаю, его привлекательность можно объяснить аналогичными причинами. Мне нравится представлять, как древние люди просто пытались экспериментально добавить дополнительные ноты к пентатонике. (Действительно, вам нужно всего лишь добавить два, чтобы получить мажорную гамму.) Результирующая мажорная гамма снова является самой ровной из всех возможных 7-нотных гамм (например: интервалы равномерно распределены). Вспомните узор ш-ш-ч-ш-ш-ш-ч. Это самый равномерный способ распределить семь нот в октаве. Из более равномерно распределенных гамм (сравните мелодическую минорную гамму) в ней меньше всего тритонов. В ней много четвертых и пятых, которые легко петь. Также в составе мажорной гаммы можно петь всевозможные мелодии в стиле пентатоники. Кроме того, мажорная гамма порождает третичную гармонию. что опять же может быть мотивировано обращением к серии обертонов. Даже гаммы также имеют много возможностей гармонического ведения голоса. (Вы можете перейти к другим аккордам, перемещая только один или два голоса на небольшой шаг.)
Концепция равномерности более подробно объясняется на отличном веб-сайте Яна Ринга A Study of Scales : https://ianring.com/musictheory/scales/#evenness .
Мажорная триада C - CEG (3-я, 4-я и 5-я гармоники C). C падает до F (идеальный каденс). Мажорная триада F – FAC (3-я, 4-я и 5-я гармоники F). Теперь у нас есть 4 ноты — C, E, G, F и A. G переходит в C (идеальная каденция). Триада G — это G, B и D. Теперь имеется 7 нот: C, E, G, F, A, B и D.
Подводя итог, можно сказать, что существует семейство заметок, связанных с C (вроде как у каждого есть дом, куда можно пойти, и каждый является домом для кого-то другого). До падает до фа, а соль падает до до. Это происхождение 7-нотной шкалы.
Из того, что я могу сказать, эти две системы, кажется, не имеют общего происхождения.
Обе системы имеют общий организующий принцип — исполнение мелодии поверх гула. Это уже не видный элемент европейской музыки, но он доминировал в средние века и, возможно, раньше. Хотя это может не учитывать точно каждый тон в мажорной гамме, это объясняет значимость тех высот, которые связаны с высотой тона простыми числовыми соотношениями. Это дает нам (по крайней мере) основной тон, октаву и высоту тона, которые мы теперь знаем как третью и пятую. То, что это простые числовые отношения, означает, что они относительно низки в гармоническом ряду, поэтому они напрямую и на слух мешают обертонам основного тона.
Я говорю «по крайней мере», потому что высота звука между четырьмя звуками «мажорного трезвучия» несколько более диссонансна, но гармонический ряд все еще может объяснить их точную настройку. Высота тона между 1:1 и 5:4 звучит более ярко, если она настроена на 9:8. То же самое верно и для высоты тона между 5:4 и 3:2, если она настроена на 4:3.
Какая бы настройка ни была предпочтительна при отсутствии дрона, поэтому высота тона будет тяготеть к этим соотношениям с добавлением басового дрона. Я не думаю, что мажорная гамма будет естественно появляться в любой музыкальной системе, но я подозреваю, что существует по крайней мере сильное смещение в пользу мажорной гаммы в музыкальных системах, в которых мелодии исполняются с дронами.
Учитывая лингвистические и антропологические связи между Индийским субконтинентом и Западной Европой, я подозреваю, что на самом деле эти системы имеют общее происхождение, хотя детали этих общих черт и их передачи через Западную Евразию затемнены по прошествии тысячелетий.
Если бы вы сыграли 2 ноты, которые звучат наиболее гармонично, вы бы выбрали ноты, разделенные октавами. Они имеют соотношение частот 2:1 (или 4:1, или 8:1 и т. д.), но это не очень поможет вам в построении гаммы, поэтому следующий «самый приятный» музыкальный интервал — это когда ноты находятся в соотношение частот 3: 2 - это даст G из C. Большинство ответов выше ссылались на это, и люди иногда называют это кругом квинт.
Начиная с фа, вы получаете гамму до мажор, и, если вы продолжите ее, постепенно формируете все мажорные гаммы во всех тональностях на стандартном инструменте с фиксированной высотой звука, таком как фортепиано или гитара. Я считаю, что это делает мажорную гамму очень особенной.
Если бы вы взяли следующий наиболее приятный интервал, вы бы выбрали 4:3, и это идеальная четвертая. Вы можете получить тот же результат, что и идеальное 5-е место, но с понижением тона. Это должно быть очевидно для нескольких людей!
Простите меня. Я новичок, и если я повторил части других ответов, извините, но я не знаю никакой другой шкалы, основанной на таких простых соотношениях частот.
Верный ответ состоит в том, что это организация первых семи тонов ряда, зависящая от данного количества отдельных тонов, имеющих наиболее тесную математическую связь. Например, первые два тона в ряду — 2:3, а первые четыре — 2:3:4,5:6,75 и так далее.
Первые семь тонов в этом ряду значимы, потому что содержат все математические интервалы, присутствующие в хроматической системе (что тоже оправдано, но я не буду вдаваться в подробности).
Если вы попытаетесь организовать эти тона в восходящую гамму с наименьшим составным диссонансом, конечным результатом будет мажорная гамма. Более простое, согласное звучание этого результата/организации заставляет многих людей интерпретировать тональные отношения в терминах этой гаммы (и ее минорной производной).
PS: попытка оправдать это серией обертонов привела к поразительному провалу умственной гимнастики. Часто причина этого просто в том, что они имеют общую основу в отношениях целых чисел.
Ульф Окерштедт
Дэйв
тинкербист
Дэйв
пользователь50691