(A,B)(A,B)(A,B)-представление группы Лоренца: коэффициентные функции полей

Отношения между четырехмерными векторными индексами и$(a,b)$таким образом можно найти индексы. Сначала позвольте мне определить четырехмерные матрицы Паули$\sigma^\mu_{ab}$. У них есть$a$типовой индекс, а$b$индекс типа и$\mu$индекс (поэтому они интерполируют между$(1/2,1/2)$и вектор).

$$\begin{align} \sigma^0 &= \left(\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right)\,,& \sigma^1 &= \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0\end{array}\right)\,,\\ \sigma^2 &= \left(\begin{array}{cc} 0 & -i\\ i & 0\end{array}\right)\,,& \sigma^3 &= \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right)\,. \end{align}$$ Позвольте мне также определить сопряженные матрицы как$\bar{\sigma}^{\mu ba} = ( \sigma^0, -\sigma^{1,2,3})$. Вектор Лоренца можно преобразовать в биспинорную запись. $$\mathrm{v}_{ab} = \sigma^{\mu}_{ab} v_\mu\,,\quad v^\mu = -\mbox{$\frac{1}{2}$}\,\mathrm{v}_{ab} \bar{\sigma}^{\mu ba}\,,\quad\det(\mathrm{v}_{ab}) = -v^2\,.$$ Неприводимое представление формы$(A,B)$тензорные с$2A$ $a$индексы типов и$2B$ $b$типовые индексы и$a$индексы симметричны между собой, а также$b$индексы. Так что-то вроде $$\mathrm{v}_{(a_1\ldots a_A)(b_1\ldots b_B)}\,.$$ С$a$и$b$принимать значения$1,2$антисимметризация эквивалентна сжатию с$\epsilon_{a_1a_2}$или$\epsilon_{b_1b_2}$таким образом, у нас нет неприводимых представлений с антисимметричными индексами.

Если$A=B$, чтобы получить из него тензор Лоренца, достаточно связать с матрицами Паули

$$v^{\mu_1\ldots \mu_{A}} = \left(-\frac{1}{2}\right)^A \bar{\sigma}^{\mu_1 a_1b_1}\cdots \bar{\sigma}^{\mu_A a_Ab_A}\mathrm{v}_{(a_1\ldots a_A)(b_1\ldots b_A)}\;.$$ Если вместо этого$A\neq B$мы можем сократить как можно больше индексов с матрицами Паули, оставляя$|A-B|$ $a$или$b$индексы без контрактов. Для Рарита-Швингер$(A,B) = (1,1/2)\oplus(1/2,1)$. У нас есть тогда $$\psi^\mu_{a_2} = \bar{\sigma}^{\mu a_1 b_1} \Psi_{(a_1 a_2) b_1}\,,\qquad \psi^\mu_{b_2} = \bar{\sigma}^{\mu a_1 b_1} \Psi_{a_1(b_1 b_2)}\,.$$ Это приведет к выражениям, полностью симметричным в$\mu$индексы. Мы знаем, что существуют также представления с антисимметризованными индексами. Для них мы можем определить еще два объекта. $$\sigma^{\mu\nu\phantom{a_1}a_2}_{\phantom{\mu\nu}a_1} = \frac{1}{4}\left(\sigma^{\mu}_{a_1b}\bar{\sigma}^{\nu b a_2} - \sigma^{\nu}_{a_1b}\bar{\sigma}^{\mu b a_2}\right)\;,\qquad \bar{\sigma}^{\mu\nu b_1}_{\phantom{\mu\nu b_1}b_2} = \frac{1}{4}\left(\bar{\sigma}^{\mu b_1a}\sigma^{\nu}_{a b_2} - \bar{\sigma}^{\nu b_1a}\sigma^{\mu}_{a b_2} \right)\;.$$ Я не знаю общей процедуры сокращения каждого$(A,B)$тензор к$\mu$тензоры, но я могу сделать вам пример для представления напряженности поля$(A,B) = (1,0)\oplus(0,1)$. Вызов$F^{\mu\nu}$самодвойственная компонента и$\tilde{F}^{\mu\nu}$антисамодуальный компонент у нас есть $$F^{\mu\nu} = \sigma^{\mu\nu a_1 a_2} \mathrm{F}_{(a_1 a_2)}\,,\quad \tilde{F}^{\mu\nu} = \bar{\sigma}^{\mu\nu b_1 b_2} \mathrm{F}_{(b_1 b_2)}\,.$$ The $a$и$b$индексы поднимаются и опускаются с двухмерным$\epsilon$тензор. Напомню также определение самодвойственности и антисамодуальности: $$\varepsilon^{\mu\nu\rho\lambda}F_{\rho\lambda} = -2 i F^{\mu\nu}\,,\qquad \varepsilon^{\mu\nu\rho\lambda}\tilde{F}_{\rho\lambda} = 2 i \tilde{F}^{\mu\nu}\;.$$ Это обозначение немного сложно понять, но оно очень точное. Стандартное соглашение изложено в одном из приложений к книге Весса и Бэггера «Суперсимметрия и супергравитация». В их соглашениях$a$индексы обозначаются$\alpha,\beta,\ldots$и$b$индексы как$\dot{\alpha},\dot{\beta}\ldots$.