Активное преобразование и пассивное преобразование скалярного поля [дубликат]

Пассивная точка зрения :

Алиса наблюдает за каким-то полем$\phi$на месте$x = x_0$в своей лаборатории в Принстоне, США, и находит значение поля$\phi(x_0)=\phi_0$. Боб наблюдает за измерениями Алисы из своей лаборатории в Кембридже, Великобритания. В своем кадре он видит Принстон как$x' = \Lambda x_0$и подтверждает то же значение поля, что и Алиса, которое ему читает$\phi'(x') = \phi(x_0)=\phi_0$, следовательно

$$\phi'(\Lambda x_0) = \phi(x_0)$$

Активная точка зрения :

Алиса снова наблюдает за полем$\phi$на месте$x = x_0$в своей лаборатории и находит значение поля$\phi(x_0)=\phi_0$. Но на этот раз Боб решает точно воспроизвести ее эксперимент в своей лаборатории и измерить то же самое поле в точно таком же месте относительно своего тела .$x' = x_0$. Все идет хорошо, и Боб находит то же значение, что и Алиса, т. е.

$$\phi'(x_0) = \phi(x_0)$$ Если место наблюдения Алисы, как видно из кадра Боба, ${\bar x}_0 = \Lambda x_0$, то наоборот $x_0 = \Lambda^{-1}{\bar x_0}$и Боб может сказать, что $$\phi'(x_0) = \phi(\Lambda^{-1} {\bar x_0})$$

См., например, эти примечания по КТП на коллекторах , особенно следующую таблицу после уравнения (8):

В литературе существует много путаницы относительно так называемой активной и пассивной интерпретации преобразований, когда речь идет о скалярных полях. Однако эта терминология и соответствующая дихотомия берут свое начало в приложениях линейной алгебры (например, компьютерное зрение), где она более актуальна, а концепции более ясны. Статья в Википедии на эту тему делает этот момент очень ясным.

Преобразование векторных пространств:

Рассмотрим пространственное преобразование$T:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3$. Это можно интерпретировать как преобразование вектора$v = v_1 e_x + v_2 e_y + v_3 e_z \in \mathbb R^3$сохранение базиса фиксированным или преобразование исходного базиса$\{e_x,e_y,e_z\}$из$\mathbb R^3$сохраняя вектор$v$зафиксированный. Эти две линии интерпретации$T$идти под двумя именами.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{vector } v \text{ rotates} \left(T: v \mapsto v'=Tv \equiv v_1' e_x + v_2' e_y + v_3' e_z\right), \\ & && \text{basis }\{e_x,e_y,e_z\} \text{ remains unchanged}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{vector } v \text{ stays put}, \\ & && \text{basis rotates } \left(\{e_x,e_y,e_z\}\mapsto \{T^{-1}e_x, T^{-1}e_y, T^{-1}e_z\}\right). \end{aligned}$$

Из первой интерпретации$v = T^{-1}v'$, следует, что$v = v_1' \tilde e_x + v_2' \tilde e_y + v_3' \tilde e_z$где$\tilde e_x := T^{-1} e_x$,$\tilde e_y := T^{-1} e_y$и$\tilde e_z := T^{-1} e_z$— преобразованные базисные векторы из второй интерпретации. Таким образом, исходный вектор$v$в повернутом основании$\{\tilde e_x, \tilde e_y, \tilde e_z\}$(с пассивной точки зрения) имеет точно такие же координаты$(v_1',v_2',v_3')$как повернутый вектор$v'$в исходной основе (активная точка зрения).

Преобразование скалярных полей

Эта дихотомия не очень полезна, когда речь идет о скалярных полях, и поэтому в литературе отсутствует каноническое определение этих понятий. Один из способов думать о них может быть таким, как udrvнаписал пользователь @. Вот еще один способ, который не менее популярен. Скалярное поле — это карта с действительным знаком.$\phi : \Omega \subset \mathfrak{M}_4 \to \mathbb R$. Рассмотрим преобразование$T:\Omega \to \Omega' \subseteq \Omega$базовой области пространства-времени. Теперь можно представить себе вращающееся поле$\phi_A := \phi \circ T^{-1}: \Omega' \to \mathbb R$или поле с противоположным вращением$\phi_P := \phi \circ T: \Omega \to \mathbb R$визуализировать это преобразование. Два новых поля можно интерпретировать следующим образом.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{field configuration } \phi\big|_{\Omega'} : \Omega' \to \mathbb R \text{ has morphed into } \phi_A : \Omega' \to \mathbb R,\\ & && \text{leaving the spacetime domain } \Omega' \text{untouched}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{field configuration } \phi_P \text{ is simply } \phi \text{ acting on a rotated domain},\\ & && \text{which is to say, } \phi_P(x) = \phi(T(x)) \text{ where } T:\Omega \to \Omega', x \mapsto x'. \end{aligned}$$

Сравните это с urdvответом @, где он (а) бросил$\phi_A\, (=\phi')$согласно пассивной интерпретации. Это должно сказать вам, что любое переопределение поля, полученное в результате преобразования пространства-времени, можно рассматривать как в активной, так и в пассивной интерпретации, и такие бессодержательные имена/интерпретации не имеют физической или математической ценности.