Амплитуда рассеяния и формула LSZ

Я прихожу к противоречию.

Чтобы вычислить амплитуду рассеяния, обычно следует предписанию, данному правилами Фейнмана, что вы рассматриваете только полносвязные диаграммы с необходимым количеством входящих и исходящих внешних ветвей (см. Peskin & Schroeder стр. 111, где говорится: только полносвязные диаграммы вносят вклад в в Т матрица).

Под полносвязностью подразумевается, что вы рассматриваете только графы, из которых можно перейти от одной строки к любой другой (см. стр. 3 этого документа) .

С другой стороны, у нас есть формула LSZ, которая говорит, что амплитуда рассеяния определяется вычетом (по мере того, как импульсы переходят на оболочку) соответствующей корреляционной функции. Например, в ф 4 теория,

М ( п а , п б → к 1 , к 2 ) дельта ( 4 ) ( п а + п б − к 1 − к 2 ) ∼ лим п а 2 , п б 2 , к 1 2 , к 2 2 → м 2 ( п а 2 − м 2 ) ( п б 2 − м 2 ) ( к 1 2 − м 2 ) ( к 2 2 − м 2 ) г ( п а , п б , − к 1 , − к 2 ) .

Но эти два предписания, кажется, дают противоречие. Рассмотрим в ф 4 теория, М ( 4 → 4 ) рассеяние. У нас есть эта диаграмма (хорошо, если бы кто-то мог нарисовать диаграмму, это было бы здорово),

Икс Икс

который состоит из двух отдельных 2 → 2 процессы рассеяния.

Эта диаграмма не является полностью связной, поэтому по первому предписанию ее следует игнорировать, тем не менее, она не дает 0 по формуле LSZ, поэтому мы должны включить его.

Физически имеет смысл, что вклад ведущего порядка в 4 → 4 процесс представлен двумя отдельными 2 → 2 те, но полностью связанный рецепт пропускает это.

Итак, есть ли предостережение в отношении полностью связанного правила рисования диаграмм Фейнмана, поскольку я считаю, что формула LSZ математически верна и физически разумна?

Связано: physics.stackexchange.com/q/51993 , короткий ответ: «Только полносвязные диаграммы вносят вклад в матрицу T» просто неверно, это верно только для « 2 → 2 «рассеяние», если у вас больше частиц в начальном или конечном состоянии, полносвязные диаграммы вносят вклад только в так называемую «связную часть S-матрицы», которая не идентична матричным элементам T-матрицы. Вайнберг Том I по теории рассеяния имеет хорошее введение.
@JiaYiyang Я только что подумал об этом, в моем примере два 2 → 2 рассеяние, есть еще дельта-функция дельта ( 4 ) ( п 1 + п 2 − к 1 − к 2 ) помимо общей дельта-функции дельта ( 4 ) ( п 1 + п 2 + п 3 + п 4 − к 1 − к 2 − к 3 − к 4 ) поэтому в этом ограниченном фазовом пространстве из 8 частиц первая дельта-функция имеет опору по мере 0 в любом случае (поскольку нам нужно ограничительное условие, что 2 импульса входящих частиц равны 2 конкретным исходящим), поэтому его вклад равен нулю, так что, может быть, поэтому полносвязный рецепт все еще верен?

Ответы (1)

Элементы Т-матрицы не совпадают с полносвязными диаграммами. Помните, что T-матрица определяется как

Т "=" С − я ,
где С является S-матрицей и я является единичной матрицей. Часть S-матрицы включает в себя все возможные диаграммы, кроме вакуумных пузырей и неампутированных диаграмм. Теперь нам просто нужно спросить, удаляет ли вычитание единичной матрицы всю несвязанную диаграмму? Очевидно нет, потому что
⟨ п 1 , … , п м | я | к 1 , … , к н ⟩ "=" дельта м н ∑ о ∏ я дельта 4 ( п о ( я ) − к я ) ,
где о является перестановкой индексов, и я предположил бозоны, чтобы избежать изменения знака при перестановках. Таким образом, единичная матрица соответствует диаграммам с прямыми не только несвязными, но и не содержащими вершин, однако S-матрица содержит некоторые несвязные диаграммы, содержащие вершины, поэтому только вычитание я их не уберешь.

2 → 2 рассеяние является особенным, потому что, если вы на самом деле попытаетесь нарисовать диаграммы с 4 внешними линиями, они будут либо несвязными и не содержащими вершин (поскольку мы исключили вакуумные пузыри и неампутированные диаграммы), либо просто полностью связанными, поэтому в этом случае вычитание я уберет все несвязанные диаграммы. Вот почему для 2 → 2 рассеяния, нам просто нужно вычислить полносвязные диаграммы. Peskin & Schroeder потенциально сбивает с толку, потому что они никогда не попадают в ситуации с более чем 4 внешними линиями.

В учебниках мало говорится о несвязанных диаграммах, потому что их можно тривиально вычислить из связанных компонентов, это молчание может быть еще одним источником путаницы (опять же, здесь я буду защищать Вайнберга).

В заключение, просто не существует такой вещи, как «рецепт полносвязных диаграмм» (если только вам не нужно причудливое имя для схемы). 2 → 2 случай рассеяния), и после этих разъяснений не должно быть «противоречия», как описано ОП.

Спасибо за ваш ответ, но для (II) физически и математически очевидно, что ваша LHS должна содержать дельта-функцию, сохраняющую импульс! Напомним математическое тождество дельта ( Икс ) дельта ( у ) "=" дельта ( Икс + у ) дельта ( у ) . Итак, давайте применим его к 2 → 2 рассеяния в свободной скалярной теории, которая имеет только 2 (несвязанные пропагаторы). Так что если п 1 идет к к 1 и п 2 идет к к 2 , у нас есть ∼ дельта ( 4 ) ( п 1 − к 1 ) дельта ( 4 ) ( п 2 − к 2 ) "=" дельта ( 4 ) ( п 1 + п 2 − к 1 − к 2 ) дельта ( 4 ) ( п 1 − к 1 ) что является вашей общей дельта-функцией сохранения импульса.
Кроме того, просто чтобы уточнить, я не имею в виду, что должна быть дельта-функция вне ⟨ ⋯ | С | ⋯ ⟩ , а скорее есть дельта-функция внутри матричных элементов С , так что вы можете фактор ⟨ ⋯ | С | ⋯ ⟩ в дельта-функцию × что-то еще (которое оказывается так называемым инвариантным матричным элементом М )
@nervxxx: ты прав, я это исправлю.
@nervxxx: На самом деле, после вашего разъяснения, я больше не понимаю вашего замешательства, как вы показали. дельта ( 4 ) ( п 1 + п 2 + п 3 + п 4 − к 1 − к 2 − к 3 − к 4 ) дельта ( 4 ) ( п 1 + п 2 − к 1 − к 2 ) ограничивают нас поверхностью фазового пространства меньшей размерности, чем просто дельта-функция, но это касается только сечений, а здесь речь идет только об элементах S-матрицы. Таким образом, кажется, что части I моего ответа достаточно, чтобы ответить на ваш вопрос, противоречия просто нет, если только вы не настаиваете на том, что существует рецепт «полностью связанной диаграммы», что неверно.
Амплитуда рассеяния и формула LSZ
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v