Каков эффект включения дополнительных представлений в действие решетчатой ​​калибровочной теории?

Я читаю «Введение в квантовые поля на решетке» Яна Смита. Вводя действие решетчатого калибровочного поля как сумму по пластинкам, Смит говорит, что в общем случае действие должно включать сумму по представлениям. Он утверждает, что «действие Вильсона» включает в себя только фундаментальное представление, которое принимает форму

С ( U ) "=" 1 г 2 р ∑ п Ре [ Тр   { U п } ] ,

тогда как вообще для представлений, обозначаемых через р , мы могли бы иметь действие решетки

С ( U ) "=" ∑ п ∑ р β р Ре [ х р ( U п ) ] х р ( 1 ) ,

где

х р ( U ) "=" Тр { Д р ( U ) } ,

1 г 2 "=" ∑ р β р р р г р , г р "=" х р ( 1 )

К сожалению, Смит не объясняет, почему можно обобщить действие таким образом. Почему весь этот акцент на представлении? Что это означает физически для модели?

Ответы (1)

Идея состоит в том, что вместо Т р [ U п ] , вы можете использовать любую функцию ф : г → С который инвариантен относительно сопряжения ф ( U ) ↦ ф ( г U г − 1 ) , так как этого условия достаточно, чтобы гарантировать инвариантность относительно калибровочного преобразования. Такие инвариантные функции называются «функциями класса».

Одна из вариаций теоремы Питера-Вейля утверждает, что

Характеры неприводимых представлений группы G образуют ортонормированный базис пространства функций классов, суммируемых с квадратом на G.

Другими словами, любую функцию класса можно записать в виде суммы символов, поэтому достаточно рассмотреть написанные вами действия.

О, хорошо, я не знал об этой теореме. Спасибо! Как тогда выбрать, какую функцию класса использовать? Является ли действие Вильсона хорошей моделью для КХД или более общие функции охватывают более интересные явления?
Действие Вильсона подходит для КХД. Если вы немного запустите поток группы ренормализации, ваше действие будет преобразовано в какую-то более общую функцию класса, я полагаю, но я не знаю конкретных применений. Обычно, когда вы видите, что автор рассматривает более общие действия, он рассматривает более общие плакетки (например, длина 2 и высота 1) с целью ускорения сходимости.
@ user1504 например: doi.org/10.1103/PhysRevD.26.2853 извините, это не arxiv
Каков эффект включения дополнительных представлений в действие решетчатой ​​калибровочной теории?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v