Волновой функционал Шредингера (квантовые поля) - Решение функциональных интегралов Гаусса

Итак, я провожу исследование, связанное с представлением Шрёдингера в квантовой теории поля. Волновой функционал основного состояния для поля Клейна-Гордона представляет собой обобщенный гауссиан в пространстве положений (в основном это решетка гармонических осцилляторов). Я хотел бы рассчитать функции корреляции с равным временем$\langle \phi (\vec x)\phi (\vec y)\rangle_0$. Я знаю, что ответ

$$D(\vec x-\vec y)=\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{e^{i\vec k\cdot (\vec x-\vec y)}}{2\omega_k},$$ заимствование в основном из обозначения P&S. В формализме, который я использую, у меня есть что-то вроде $$\Psi[\phi]=N\times \exp\bigg[-\frac{1}{2}\int d^3x\int d^3y\; \phi(\vec x)G(\vec x-\vec y)\phi(\vec y)\bigg]\\=N\;exp\bigg[-\frac{1}{2}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k|\tilde\phi(\vec k)|^2\bigg].$$

Я знаю, что фактор$\phi(x)\phi(y)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec p\cdot\vec x}\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}e^{i\vec p'\cdot\vec y}\tilde\phi(\vec p)\tilde\phi(\vec p')$, можно разложить в преобразовании Фурье. Я пытаюсь оценить корреляционную функцию,

$$\langle \phi (\vec x)\phi (\vec y)\rangle_0=\int D\phi \phi (\vec x)\phi (\vec y)|\Psi[\phi]|^2\\ \to N\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec p\cdot\vec x}\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^3}e^{i\vec p'\cdot\vec y}\tilde\phi(\vec p)\tilde\phi(\vec p')\exp\bigg[-\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k|\tilde\phi(\vec k)|^2\bigg]$$

Я могу разделить преобразование Фурье на действительную и мнимую части и обнаружить, что функциональное интегрирование равно нулю, если только (см. главу 9 P&S для аналогичного расчета)$\vec p=-\vec p'$. Проблема, с которой я сталкиваюсь, заключается в том, что в конечном результате мне постоянно не хватает коэффициента два (после правильной нормализации и т. Д., Конечно), что, я думаю, происходит из-за того, что я добавляю интегралы

$$\bigg(\tilde\phi^R(\vec p)\bigg)^2+\bigg(\tilde\phi^I(\vec p)\bigg)^2.$$

Даже если нормализовать разбиение на реальную и воображаемую части, это компенсируется аргументом экспоненты. Я пытался определить, есть ли фактор пересчета, связанный с двойным интегралом, но я тоже этого не вижу. У кого-нибудь есть подобные проблемы с такими вычислениями?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Некоторые замечания об этой формулировке КТП: это альтернативный способ подхода к КТП, где вы берете гамильтониан Клейна Гордона,

$$H=\frac{1}{2}\int d^3x\;\pi^2-\bigg(\vec\nabla\phi\bigg)^2+m^2\phi^2$$ Канонический импульс $\pi$полей считается генератором трансляций в конфигурационном пространстве (поэтому оператор функциональной производной) $$\pi\to-i\frac{\delta}{\delta\phi}$$

И решить функциональное уравнение Шредингера. Этот формализм не является явно ковариантным, но все наблюдаемые величины (насколько мне известно) согласуются с представлением пространства Фока.

Нормализация находится с помощью функционального обобщения методов, используемых в QM. Нормализация плохо определена, так как она отменяет расчет корреляционных функций.

Этот метод особенно хорошо подходит для информационной перспективы КТП, поскольку волновой функционал обычным образом связан с распределением вероятностей конфигурации поля. Мое исследование связано с переписыванием аспектов КТП с точки зрения теории информации. Перенормировка будет рассматриваться (надеюсь) как смесь таких концепций, как грубая детализация и достаточность.