Пропагаторная поправка в теории ϕ4ϕ4\phi^4 — почему этот вековой рост не нарушает теорию возмущений?

Question

Пропагаторная поправка в теории ϕ4ϕ4\phi^4 — почему этот вековой рост не нарушает теорию возмущений?

Физика
распространитель
взаимодействия
диаграммы фейнмана
преобразование Фурье
квантовая теория поля

QuantumEyedea

Бесплатный распространитель массивного $m\neq0$ реальное скалярное поле следующее:

г_{0} (Икс, у) "=" \int \frac{г^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{я п \cdot (Икс - у)}}{п^{2} + м^{2} - я ϵ}

$G_{0}(x,y) \ = \ \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^4} \frac{e^{i p \cdot (x-y)}}{p^2 +m^2 - i \epsilon}$

Хорошо известно, что интегрирование приведенного выше дает следующую функцию, включающую модифицированную функцию Бесселя второго рода:

г_{0} (Икс, у) "=" - \frac{я}{4 π^{2}} \frac{м}{\sqrt{- т^{2} + | р |^{2}}} К_{1} (м \sqrt{- т^{2} + | р |^{2}}) - \frac{1}{4 π} дельта (- т^{2} + | р |^{2})

$G_{0}(x,y) \ = \ - \frac{i}{4\pi^2} \frac{m}{\sqrt{ - t^2 + |\mathbf{r}|^2 }} K_{1}\left( m \sqrt{ - t^2 + |\mathbf{r}|^2} \right) - \frac{1}{4\pi} \delta\left( - t^2 + |\mathbf{r}|^2 \right)$

Где $t := x^0 - y^0$ и $\mathbf{r} := \mathbf{x} - \mathbf{y}$ .

Рассмотрим следующую двухпетлевую поправку к пропагатору в $\phi^{4}$ Теория взаимодействия:

Приведенная выше диаграмма «двойной головастик» дает 2 петлевых интеграла и преобразование Фурье по 3 пропагаторам. Используя тот факт, что:

\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial (м^{2})^{2}} {\frac{1}{п^{2} + м^{2} - я ϵ}} "=" \frac{1}{{(п^{2} + м^{2} - я ϵ)}^{3}}

$\frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial (m^2)^2} \left\{ \frac{1}{p^2 +m^2 - i \epsilon} \right\} \ = \ \frac{1}{\left(p^2 +m^2 - i \epsilon\right)^3}$

мы находим, что приведенная выше диаграмма пропорциональна (с точностью до некоторого $\mathbb{C}-$ числа) к следующей функции:

\propto λ^{2} Т^{2} \frac{\partial^{2} г_{0} (Икс, у)}{\partial (м^{2})^{2}} \propto λ^{2} Т^{2} \frac{\sqrt{- т^{2} + | р |^{2}} К_{1} (м \sqrt{- т^{2} + | р |^{2}})}{м}

$\propto \lambda^2 \mathcal{T}^2\frac{\partial^2 G_0(x,y)}{\partial (m^2)^2} \propto \lambda^2 \mathcal{T}^2 \frac{\sqrt{ - t^2 + |\mathbf{r}|^2}\ K_1\left( m \sqrt{ - t^2 + |\mathbf{r}|^2} \right)}{m}$

Где $\mathcal{T}$ следующая петля головастика (и $\Lambda \gg m$ является УФ-отсечкой):

Т "=" \int_{Λ} \frac{г^{4} к}{(2 π)^{4}} \frac{1}{к^{2} + м^{2} - я ϵ} "=" \frac{я}{16 π^{2}} [Λ^{2} - м^{2} бревно (\frac{Λ^{2}}{м^{2}} + 1)]

$\mathcal{T} \ = \ \int_{\Lambda} \frac{d^{4}k}{(2\pi)^4}\frac{1}{k^2+m^2-i\epsilon} \ = \ \frac{i}{16 \pi^2} \left[ \Lambda^2 - m^2 \log\left( \frac{\Lambda^2}{m^2} + 1 \right) \right]$

Эта функция двойного головастика меня настораживает из-за следующего: когда я устанавливаю пространственное разделение $\mathbf{r}=0$ , а затем рассмотрим асимптотику как $t\to\infty$ , функция выглядит так:

\sim λ^{2} Т^{2} \frac{\sqrt{т} е^{- я м т}}{м^{3 / 2}}

$\sim \ \lambda^2 \mathcal{T}^2\ \frac{\sqrt{t}\ e^{-imt}}{m^{3/2}}$

Таким образом, эта функция растет по мере того, как мы тратим время $t\to \infty$ . Это , по- видимому , указывает на вековой срыв нашего пертурбативного расширения в $\lambda$ - идея в том, что независимо от того, насколько крошечными мы делаем наши $\lambda$ -связь, если мы просто подождем достаточно долго, этот член в ряду взорвется, разрушив нашу серию.

В общем, для $N$ -вставки головастика: я обнаружил, что описанное выше лечение дает (для $\mathbf{r}=0$ и $t\to\infty$ ) следующую асимптотику:

\sim λ^{Н} Т^{Н} \frac{т^{Н - \frac{3}{2}}}{м^{Н - \frac{1}{2}}} е^{- я м т}

$\sim \lambda^N \mathcal{T}^N\ \frac{t^{N-\frac{3}{2}}}{m^{N-\frac{1}{2}}} e^{-im t}$

Эти асимптотики справедливы для всех $N \geq 0$ (где $N=0$ просто свободный распространитель).

Почему эти члены не приводят к веково растущему ряду возмущений? Я заметил, что термины, имеющие такое «расхождение во времени», начинаются с $N=2$ головастики, которые, конечно, не являются графиками 1PI, поэтому у меня есть ощущение, что ответ как-то связан с этим, и по какой-то причине нам, возможно, нужно игнорировать эти диаграммы.

Кнчжоу

Вы уверены, что нет дополнительных числовых факторов, таких как

1 / N!

$1/N!$ для

N

$N$ -головастик? Потому что, скажем,

\cos (t) = 1 - t^{2} / 2! + t^{4} / 4! - \dots

$\cos(t) = 1 - t^2/2! + t^4/4! - \ldots$ каждый отдельный термин «растет с течением времени», становясь сколь угодно большим для сколь угодно большого

t

$t$ , но сумма в порядке.

Кнчжоу

Один из способов проверить, имеет ли вся сумма смысл, - это выполнить обычный прием повторного суммирования 1PI: сумма всех этих диаграмм представляет собой геометрическую серию с первым членом, равным голому пропагатору, и отношением, равным головастику, умноженному на голого пропагатора. (Я бы попробовал, но я пошел спать!)

Кнчжоу

Другая идея заключается в том, что в общем случае ряд возмущений для КТП имеет нулевой радиус сходимости, поэтому, возможно, он просто ничего не суммирует. Я думаю, что здесь проблема не в этом, потому что на уровне диаграмм она возникает из-за их комбинаторного взрыва. При рассмотрении только одного «типа» диаграммы все должно быть в порядке. (И

T

$\mathcal{T}$ тоже бесконечно, но вы это знаете.)

Джон Барретт

Эти диаграммы точно сокращаются квадратичными контрчленными диаграммами. Оценивать их без контрчлена не имеет смысла.

Ответы (2)

Пропагаторная поправка в теории ϕ4ϕ4\phi^4 — почему этот вековой рост не нарушает теорию возмущений?

Вы уверены, что нет дополнительных числовых факторов, таких как $1/N!$ для $N$ -головастик? Потому что, скажем, $\cos(t) = 1 - t^2/2! + t^4/4! - \ldots$ каждый отдельный термин «растет с течением времени», становясь сколь угодно большим для сколь угодно большого $t$ , но сумма в порядке.
Один из способов проверить, имеет ли вся сумма смысл, - это выполнить обычный прием повторного суммирования 1PI: сумма всех этих диаграмм представляет собой геометрическую серию с первым членом, равным голому пропагатору, и отношением, равным головастику, умноженному на голого пропагатора. (Я бы попробовал, но я пошел спать!)
Другая идея заключается в том, что в общем случае ряд возмущений для КТП имеет нулевой радиус сходимости, поэтому, возможно, он просто ничего не суммирует. Я думаю, что здесь проблема не в этом, потому что на уровне диаграмм она возникает из-за их комбинаторного взрыва. При рассмотрении только одного «типа» диаграммы все должно быть в порядке. (И $\mathcal{T}$ тоже бесконечно, но вы это знаете.)
Эти диаграммы точно сокращаются квадратичными контрчленными диаграммами. Оценивать их без контрчлена не имеет смысла.

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Некоторые комментарии:

По какой-то причине вы решили включить $n$ Головастик -го порядка, но не остальные диаграммы того же порядка. Это вообще бессмысленная операция: вы либо включаете все диаграммы в заданном порядке, либо ни одну из них. Рассмотрение только подмножества, как правило, не является допустимой операцией и может привести к противоречивым/нефизическим результатам.
Диаграммы головастиков на самом деле неизмеримы и могут быть устранены с помощью операции нормального упорядочения (см . этот пост PSE ), поэтому они не могут действительно разрушить теорию. От них не зависит никакое физическое предсказание.
Цитируя Д. Тонга (стр. 138),

Если бы мы усекли бесконечную сумму (6.13) в любом конечном $n$ , то все бы расходилось. Но бесконечные суммы могут делать то, чего не могут конечные суммы, и окончательное поведение амплитуды (6.14) намного мягче, чем у любого из отдельных членов.

Здесь Тонг имеет в виду амплитуду Вирасоро-Шапиро в теории струн, но утверждение верно и здесь: пересуммирование степенного/асимптотического ряда приводит к совершенно другому поведению, чем усеченный ряд. Твой $n$ может показаться, что амплитуда го порядка имеет сингулярность при $t=\infty$ , в то время как реальная амплитуда фактически конечна в этой точке. Рассмотрим в качестве примера серию $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$ , который конечен при $x=\infty$ но у усеченной серии есть полюс.

В частности, двухточечная функция (объект, который вы вычисляете) на самом деле задается обратной собственной энергией $\Pi$ (рассчитывается только с учетом соответствующих диаграмм). Первым вкладом в собственную энергию является диаграмма головастика, поэтому вы можете заключить, что $G_2=\Pi^{-1}\sim t^{-1/2}$ , который обращается в нуль при $t=\infty$ вместо того, чтобы расходиться. Опять же, суммированные ряды совсем не похожи на отдельные члены. Обоснование пересуммирования расходящегося ряда см. в этом посте PSE .
При строгом рассмотрении пертурбативной КТП константы связи адиабатически отключаются при $t\to\pm\infty$ . Как правило, по крайней мере так же быстро, как $g(t)\propto \mathrm e^{-\epsilon |t|}$ для некоторых $\epsilon>0$ . Поэтому, строго говоря, ваши амплитуды действительно не растут при больших $|t|$ а на самом деле распадается .
Наконец, обратите внимание, что двухточечная функция на самом деле является функцией распределения , а не обычной функцией. Поэтому, оценивая его в $t\to\infty$ не является действительно осмысленной операцией. Чтобы извлечь число из распределения, вы должны проинтегрировать его по тестовой функции, которая обычно затухает экспоненциально быстро для больших значений. $(t,\boldsymbol x)$ .

Вакабалула · Answer 2

Я должен добавить к уже хорошему ответу (-ам), данному @AccidentalFourierTransform , в том, что «нормальный порядок» отменяет НЕКОТОРЫЕ диаграммы головастиков (фактически все они в теории phi ^ 4), но не отменяет все из них в более общих теориях поля . Например, нормальный порядок отменяет 2-ю, 3-ю,..., 7-ю и 10-ю, 11-ю диаграммы в: но не 1-ю, 8-ю, 9-ю и 12-ю диаграммы. Я думаю, что @AccidentalFourierTransform знает об этом (из-за его цитируемых ссылок), но позвольте мне также добавить эту ссылку, https://arxiv.org/abs/1512.02604 , где показано, как обобщить понятие нормального порядка на то, что называется "полным нормальным упорядочением" (абсолютно естественное обобщение). При «полном нормальном упорядочении» ВСЕ диаграммы головастиков отменяются.автоматически (на самом деле, если быть точным, все диаграммы Фейнмана головоногих, которые представляют собой более широкий класс диаграмм, чем диаграммы головастиков - все диаграммы на рисунке относятся к головоногим, и все они отменены в полном нормальном порядке), ко всем порядкам в теории возмущений. В этой ссылке явно показано, что эти сокращения точно фиксируются путем введения контртерминов в вашу исходную теорию поля. На самом деле определение полного нормального порядка не является пертурбативным. (При полном нормальном упорядочении ваших голых действий вы автоматически квантоваете свою теорию вокруг полного квантово-скорректированного фона.)

Действительно, нормальная упорядоченность Склироса мне всегда нравилась. Я не знаю, почему статья(и) не цитируется чаще.

Пропагаторная поправка в теории ϕ4ϕ4\phi^4 — почему этот вековой рост не нарушает теорию возмущений?

QuantumEyedea

Кнчжоу

Кнчжоу

Кнчжоу

Джон Барретт

Ответы (2)

СлучайныйПреобразование Фурье

Вакабалула

СлучайныйПреобразование Фурье

Как можно прочитать правила Фейнмана по лагранжиану?

Безмассовое m=0m=0m=0 Четырехмерное преобразование Фурье (p2+iϵ)−2(p2+iϵ)−2(p^2 + i \epsilon)^{-2}

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки

Как определить порядок диаграммы Фейнмана?

Однопетлевой 1ПИ эффективного действия и одетые пропагаторы

Доказательство двухточечной функции геометрического ряда

Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана

Правило Фейнмана для производного взаимодействия: пример

Что на самом деле означает вычислять вещи на уровне дерева?

2π2π2\pi и правила Фейнмана