Безразмерные константы в физике

во-первых, вопрос, который вы задаете, очень важен, и вы можете полностью его освоить.

Размерные константы - это те, которые имеют единицы, например$c, \hbar, G$, или даже$k_{\rm Boltzmann}$или же$\epsilon_0$в СИ. Единицы - такие как метр; килограмм; второй; Ампер; Кельвина - выбраны частично произвольно. Это результат случайных культурных случайностей в истории человечества. Секунда была первоначально выбрана как 1/86 400 солнечных суток, один метр как 1/40 000 000 среднего меридиана, один килограмм как масса 1/1 000 кубических метров (литр) воды или позже масса случайно выбранного прототипа. , один Ампер, чтобы$4\pi \epsilon_0 c^2$это простая степень 10 в единицах СИ, один кельвин как 1/100 разницы между температурами плавления и кипения воды.

Ясно, что окружность Земли, солнечный день, платиновый прототип кирпича во французском замке или фазовые переходы воды не входят в число самых «фундаментальных» характеристик Вселенной. Есть много других способов выбора единиц измерения. Кто-то мог выбрать 1,75 метра — рост среднего человека — в качестве единицы длины (некоторые странные люди в истории даже измеряли расстояния ногами), и он все равно мог назвать это «одним метром». Это будет его метр. В этих единицах числовые значения скорости света будут другими.

Именно произведения или отношения степеней фундаментальных констант, которые являются безразмерными , не имеют никаких единиц по определению, что означает, что они независимы от всех случайных культурных выборов единиц. Так что все цивилизации во Вселенной - несмотря на отсутствие каких-либо взаимодействий между ними в прошлом - согласятся о численном значении отношения масс протона к электрону - что примерно$6\pi^5=1836.15$(формула - это просто тизер, который я заметил, когда мне было 10 лет!) - и о постоянной тонкой структуры,$\alpha\sim 1/137.036$, и так далее.

В Стандартной модели физики элементарных частиц насчитывается около 19 таких безразмерных параметров, которые «реально» определяют характер физики; все остальные константы, такие как$\hbar,c,G,k_{\rm Boltzmann}, \epsilon_0$зависят от выбора единиц, а количество независимых единиц (метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин) на самом деле достаточно велико, чтобы все эти константы,$\hbar,c,G,k_{\rm Boltzmann},\epsilon_0$, может быть установлен равным тому, который упрощает все фундаментальные уравнения в физике, где эти фундаментальные константы появляются часто. Изменяя значение$c$меняются только социальные условности (что означают единицы измерения), а не законы физики.

Единицы, в которых все эти константы численно равны 1, называются единицами Планка или натуральными единицами, и Макс Планк понял, что это был самый естественный выбор уже 100 лет назад.$c=1$устанавливается в любом «зрелом» анализе, который включает специальную теорию относительности;$\hbar=1$повсеместно используется во «взрослой» квантовой механике;$G=1$или же$8\pi G=1$иногда используется при исследовании гравитации;$k_{\rm Boltzmann}=1$используется всякий раз, когда тепловые явления изучаются микроскопически, на профессиональном уровне;$4\pi\epsilon_0$просто раздражающий фактор, который может быть установлен равным единице (а в гауссовских единицах 19-го века такие вещи на самом деле установлены равными единице, с другой обработкой$4\pi$фактор); вместо одного моля в химии физики (исследователи более фундаментальной дисциплины) просто считают молекулы или атомы и знают, что моль — это всего лишь упаковка$6.022\times 10^{23}$атомы или молекулы.

19 (или 20?) действительных безразмерных параметров Стандартной модели можно классифицировать как три константы тонкой структуры$g_1,g_2,g_3$принадлежащий$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$калибровочная группа; Ожидаемое значение вакуума Хиггса, деленное на планковскую массу (единственное, что дает шкалу масс, и эта шкала масс различает разные теории только тогда, когда мы также принимаем во внимание гравитацию); связи Юкавы с Хиггсом, которые определяют массы кварков и фермионов и их смешивание. Следует также учитывать сильный CP-угол КХД и некоторые другие.

Как только вы выберете модифицированную Стандартную модель, в которой учитывается, что нейтрино массивны и колеблются, число 19 поднимется примерно до 30. Конечно, новая физика увеличивает это число. SUSY, описываемая мягким нарушением SUSY, имеет в минимальной модели около 105 параметров.

Исходные 19 параметров Стандартной модели могут быть выражены в терминах более «фундаментальных» параметров. Например,$\alpha$теории электромагнетизма не очень фундаментальна в физике высоких энергий, потому что электромагнетизм и слабые взаимодействия объединяются при более высоких энергиях, поэтому более естественно вычислять$\alpha$из$g_1,g_2$принадлежащий$U(1)\times SU(2)$калибровочная группа. Также эти муфты$g_1,g_2$а также$g_3$пробег - зависят от шкалы энергии примерно логарифмически. Такие ценности, как$1/137$поскольку постоянная тонкой структуры — это низкоэнергетические значения, но высокоэнергетические значения на самом деле более фундаментальны, потому что фундаментальные законы физики — это те, которые описывают физику очень коротких расстояний, в то время как физика дальних (низкоэнергетических) расстояний выводится От этого.

Я упомянул, что количество безразмерных параметров увеличивается, если вы добавляете новую физику, такую ​​как SUSY с мягким нарушением. Однако более полные, объединяющие теории — такие, как теории великого объединения и особенно теория струн — также подразумевают различные соотношения между ранее независимыми константами, поэтому они сокращают число независимых безразмерных параметров Вселенной. Теории великого объединения в основном установлены$g_1=g_2=g_3$(с правильным коэффициентом$\sqrt{3/5}$Добавлено в$g_1$) по характерной для них энергетической шкале "GUT"; они также могут относиться к некоторым муфтам Yukawa.

Теория струн в этой работе перфекционистка. В принципе, все безразмерные непрерывные константы могут быть вычислены из любого стабилизированного струнного вакуума, поэтому вся непрерывная неопределенность может быть устранена теорией струн; можно на самом деле доказать, что это так. В теории струн нечего постоянно корректировать. Однако в теории струн имеется большой дискретный класс стабилизированных вакуумов, который не более чем счетен и, возможно, конечен, но велик. Тем не менее, если есть$10^{500}$стабилизированный полуреалистичный волокнистый вакуум, всего 500 цифр для настройки (и тогда вы можете предсказать все с любой точностью, в принципе) - в то время как Стандартная модель с ее 19 непрерывными параметрами имеет 19-кратную бесконечность цифр для настройки в соответствии с экспериментами.

Важны только безразмерные величины. Это просто чистые числа, и не может быть никакой двусмысленности в отношении их значения. Это не так с размерными величинами. Например, если я скажу вам свою скорость$v$по отношению к вам это$0.5\, \rm speedons$это не дает вам много информации, так как у меня есть свобода определять$\rm speedon$единицы так, как я хочу. Я могу дать вам некоторую информацию только в том случае, если я дам вам безразмерную величину, например$v/c = 0.5$.

Теперь, чтобы сделать размерные величины безразмерными, нам нужна некоторая реперная шкала (в предыдущем примере это была$c$). В принципе, мы можем выбрать любую шкалу, какую захотим, но обычно это будет что-то из повседневного опыта. Например, вы выбираете метр таким, какой он есть, чтобы вещи, с которыми вы обычно сталкиваетесь (другие люди, дома, деревья и т. д.), соответствовали порядку.$\sim 1$относительно метра. Так появились все наши подразделения. Естественно, в людях и весах, с которыми они обычно работают, нет ничего особенного. Мы знаем, что есть много важных масштабов, когда мы переходим к атомным и ядерным размерам. Мы также знаем, что есть более важная шкала скорости (а именно, ультрарелятивистская$v/c \to 1$). И так далее.

Тем не менее, нам нужно выбрать некоторые единицы для работы, чтобы иметь возможность вычислять что-либо, и было бы неплохо выбрать некоторые единицы, которые не страдали бы от вышеупомянутого произвола. Оказывается, нам повезло, потому что Природа дала нам несколько особых констант. Каждый из них связан с какой-то фундаментальной теорией ($c$в специальной теории относительности,$G$гравитация,$\hbar$в квантовой механике и др.). Было бы глупо не воспользоваться этим щедрым подарком. Таким образом, мы можем говорить о скоростях, равных 0,9 (что на самом деле означает$v/c$), действие 20 ($=S/\hbar$) и так далее. Эта система единиц называется системой Планка, и хотя она не используется в повседневной жизни по очевидным причинам, она очень полезна каждый раз, когда мы имеем дело с фундаментальной физикой.

(...) это та область, в которой физики действительно обеспокоены или проводят значительные исследования?

Интересно, что Поль Дирак провел некоторые исследования по космологии, основанные на рассмотрении безразмерных комбинаций чисел, приближающихся к единице, которые строятся из фундаментальных физических величин. Комбинации смешали микрофизические величины, такие как заряд электрона, с космологическими параметрами, такими как постоянная Хаббла. Это пример, извлеченный из книги Coles/Lucchin Cosmology (Wiley, 2-е изд. 2002 г.):

$\frac{e^{4}H_{0}}{Gm_{p}m_{e}^{2}c^{3}} \simeq 1$

Допущение справедливости этого отношения имеет интересные следствия: поскольку$H_{0}$меняется со временем, одна или несколько так называемых фундаментальных констант, которые появляются в уравнении, также должны изменяться во времени. Это привело к некоторым попыткам построить теории с другими прошлыми значениями гравитационной постоянной.

Теория почти забыта. До сих пор не совсем ясно, открыл ли он ящик Пандоры нумерологических спекуляций, не спрятано ли там что-то с глубоким физическим, еще не раскрытым смыслом. Нынешним объяснением этих числовых совпадений (?) является Слабый антропный принцип, который кажется мне, по крайней мере, столь же спекулятивным и философским, как и первоначальная идея Дирака.

Вот ссылка на полный текст статьи Дирака по этому вопросу в 1974 году: http://www.jstor.org/discover/10.2307/78591?uid=3737952&uid=2&uid=4&sid=21101428637013

Вселенная может быть описана в формальной математической структуре, поэтому все физические величины могут быть описаны с помощью уравнения, которое содержит только безразмерные числа. Теперь, учитывая любой набор уравнений, вы всегда можете ввести масштабирующие переменные, позволяющие изучить определенные пределы масштабирования теории. Вселенную, какой мы ее воспринимаем, можно точно описать как вырожденный предел масштабирования, который требует введения 3 переменных масштабирования, а затем принятия предела масштабирования в правильном порядке. Этот вырожденный предел и есть то, что мы называем «классической физикой».

Поскольку мы находимся не совсем на пределе масштабирования, переменные масштабирования на самом деле не находятся в своих предельных значениях (бесконечных или нулевых). Но чтобы в точности получить классическую физику, вам нужно отправить эти переменные в соответствующие пределы. Поскольку несколько столетий назад мы начали с почти нулевым знанием законов физики, нам нужно было выяснить, как устроена Вселенная, путем проведения экспериментов. Но так как мы живем почти в пределе масштабирования, происходит то, что определенные отношения между наблюдаемыми очень трудно наблюдать (именно на пределе масштабирования вы можете получить сингулярные уравнения, тогда вы теряете связи между физическими переменными). Тогда получается, что для полного описания Вселенной требуется несколько независимых физических переменных, которые не могут быть связаны друг с другом.

Затем мы разработали математический формализм, который навязывает эту несовместимость посредством введения «размерностей». Когда мы позже узнали о том, как на самом деле связаны эти якобы несовместимые величины, мы обнаружили, что эти отношения с масштабирующими переменными появляются как полномерные константы в уравнениях, которые при выражении в старых единицах имеют очень большую или маленькую величину.

Говоря об отношении масс электрона к протону (которое составляет примерно 1/1836), Лубош обнаружил, что оно может быть связано с$\pi$, и я думаю, что это своего рода константа связи в атоме водорода.

Атом имеет центр переменных инерции и переменных внутреннего движения. При приложении внешней силы к атомному ядру атом ускоряется как целое и может возбуждаться и его внутреннее движение. Соотношение$m_e/m_p$определяет эффективность «накачки» внутренних степеней свободы атома внешней силой, действующей на ядро.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Увидев так много отрицательных голосов, я передумал. Я согласен с Любошем:$m_p/m_e = 6\pi^5$и к физике отношения не имеет :-(.