Химический потенциал идеального ферми-газа с энергиями отдельных частиц ϵ±k=±ℏc|k|ϵk±=±ℏc|k|\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|

Question

Химический потенциал идеального ферми-газа с энергиями отдельных частиц ϵ±k=±ℏc|k|ϵk±=±ℏc|k|\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|

Физика
фермионы
идеальный газ
химический потенциал
статистическая механика

Саханд Табатабаи

Я столкнулся со следующим вопросом в некоторых примерах задач для выпускного экзамена по курсу статистической механики для выпускников:

Рассмотрим идеальный газ фермионов с плотностью $n$ в трех измерениях с энергиями собственных состояний одной частицы, определяемыми выражением $\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|$ . Предположим, что химический потенциал $\mu = 0$ в $T=0$ . Докажите, что если плотность фермионов постоянна, $\mu(T)=0$ для всех $T$ .

Мой первый подход заключался в использовании распределения Ферми-Дирака (с использованием единиц энергии для температуры):

Н "=" \sum_{к} ⟨ н_{к} ⟩ "=" \sum_{к} \frac{1}{е^{\frac{ϵ_{к} - мю}{Т}} + 1} "=" \sum_{к} \frac{1}{е^{\frac{ℏ с | к | - мю}{Т}} + 1}

$N=\sum_k\langle n_k\rangle = \sum_k \frac{1}{e^{\frac {\epsilon_k-\mu}T}+1}=\sum_k \frac{1}{e^{\frac {\hbar c |\mathbf k|-\mu}T}+1}$ Преобразуя это в интеграл в импульсном пространстве:

Н "=" В \int_{р^{3}} \frac{г^{3} к}{(2 π)^{3}} \frac{1}{е^{\frac{ℏ с | к | - мю}{Т}} + 1} "=" \frac{В}{2 π^{2}} \int_{0}^{\infty} г к \frac{к^{2}}{г^{- 1} е^{\frac{ℏ с к}{Т}} + 1}

$N=V\int_{\Bbb R^3}\frac {d^3k}{(2 \pi)^3}\frac{1}{e^{\frac {\hbar c |\mathbf k|-\mu}T}+1}=\frac {V}{2 \pi^2}\int_0^\infty dk \ \frac{k^2}{z^{-1}e^{\frac {\hbar c k}T}+1}$ Где

z = e^{\frac{μ}{T}}

$z=e^{\frac {\mu}{T}}$ это летучесть. С помощью замены переменных получаем:

Н "=" \frac{В}{2 π^{2}} {(\frac{Т}{ℏ с})}^{3} \int_{0}^{\infty} г Икс \frac{{Икс}^{2}}{г^{- 1} е^{Икс} + 1}

$N=\frac {V}{2 \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3\int_0^\infty dx \ \frac{x^2}{z^{-1}e^{x}+1}$ Что с точки зрения функций Ферми-Дирака:

н "=" \frac{1}{π^{2}} {(\frac{Т}{ℏ с})}^{3} ф_{3} (г)

$n=\frac {1}{ \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3f_3(z)$ Где

n

$n$ это плотность. При низких температурах, используя разложение Зоммерфельда

f_{3} (e^{\frac{μ}{T}}) ≃ \frac{1}{6} {(\frac{μ}{T})}^{3} (1 + π^{2} {(\frac{T}{μ})}^{2})

$f_3\left(e^{\frac{\mu}{T}}\right) \simeq \frac 16\left(\frac {\mu}{T}\right)^3\left(1+\pi^2 \left(\frac T{\mu}\right)^2\right)$ , мы получаем:

н ≃ \frac{1}{π^{2}} {(\frac{Т}{ℏ с})}^{3} \frac{1}{6} {(\frac{мю}{Т})}^{3} (1 + π^{2} {(\frac{Т}{мю})}^{2}) ≃ \frac{В}{6 π^{2}} {(\frac{мю}{ℏ с})}^{3} Т \to 0^{+}

$n\simeq\frac {1}{ \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3\frac 16\left(\frac {\mu}{T}\right)^3\left(1+\pi^2 \left(\frac T{\mu}\right)^2\right)\simeq \frac {V}{ 6\pi^2} \left(\frac{\mu}{\hbar c}\right)^3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\rightarrow0^+$ Который дает :

мю ≃ ℏ с {(6 π^{2} н)}^{\frac{1}{3}} Т \to 0^{+}

$\mu \simeq \hbar c\left(6 \pi^2 n\right)^{\frac{1}{3}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\rightarrow0^+$ Я не понимаю, как мы можем предположить, что химический потенциал равен нулю при нулевой температуре. Ясно, что приведенное выше решение показывает, что это невозможно. Как может газ иметь нулевую энергию Ферми? Я получаю тот же результат при вычислении большой канонической статистической суммы с нуля и использовании большого потенциала. Нулевой химический потенциал также не имеет интуитивного смысла, поскольку подразумевает, что добавление или вычитание частиц из газа не требует никаких затрат энергии; что не может быть правдой, потому что, когда мы добавляем фермион, он не может разделить энергетический уровень с другой частицей (принцип Паули) и, следовательно, должен перейти на более высокий энергетический уровень, а это означает, что существует ненулевая стоимость энергии.

Другая проблема заключается в том, что я не могу понять, что означает вопрос

\pm

$\pm$ в

ϵ_{k}^{\pm} = \pm ℏ c | k |

$\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|$ связь. Означает ли это, что каждое собственное состояние импульса соответствует двум собственным состояниям энергии, одному отрицательному и одному положительному? Например, рассмотрим - случай

ϵ_{k} = - ℏ c | k |

$\epsilon_k=- \hbar c |\mathbf k|$ . То же рассуждение, что и выше, дает:

н "=" \frac{1}{2 π^{2}} {(\frac{Т}{ℏ с})}^{3} \int_{0}^{\infty} г Икс \frac{{Икс}^{2}}{г^{- 1} е^{- Икс} + 1} \to + \infty

$n=\frac {1}{2 \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3\int_0^\infty dx \ \frac{x^2}{z^{-1}e^{-x}+1} \ \rightarrow +\infty$ И этот интеграл явно расходится при всех значениях

z

$z$ .

Я чувствую, что неверно истолковываю вопрос. Любая помощь будет оценена по достоинству.

ленол

Я в том же классе. Буду признателен за обновление, если вы его получите.

Саханд Табатабаи

Конечно. Я опубликую все, что смогу найти.

ленол

я нашел

μ (T) = μ (0) + c T^{2}

$\mu(T)=\mu(0)+cT^2$ , и что

μ

$\mu$ едва отклоняется от

μ (0)

$\mu(0)$ . Я не уверен, что это то, чего он ожидает.

Саханд Табатабаи

не знаю может быть? Но это только для низких температур. Он говорит, докажи

μ = 0

$\mu=0$ для всех Т. Я понятия не имею, правда.

Ответы (2)

Химический потенциал идеального ферми-газа с энергиями отдельных частиц ϵ±k=±ℏc|k|ϵk±=±ℏc|k|\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|

Я в том же классе. Буду признателен за обновление, если вы его получите.
Конечно. Я опубликую все, что смогу найти.
я нашел $\mu(T)=\mu(0)+cT^2$ , и что $\mu$ едва отклоняется от $\mu(0)$ . Я не уверен, что это то, чего он ожидает.
не знаю может быть? Но это только для низких температур. Он говорит, докажи $\mu=0$ для всех Т. Я понятия не имею, правда.

еранреш · Answer 1

Прежде чем углубляться в математику, давайте попробуем интуитивно понять функцию энергии, с которой вы имеете дело. Тебе дали

ϵ_{к}^{\pm} "=" \pm ℏ с | к |

$\epsilon_{\boldsymbol{k}}^{\pm}=\pm\hbar c\left|\boldsymbol{k}\right|$

ϵ_{Ф} "=" мю (Т "=" 0) "=" 0

$\epsilon_{\rm F}=\mu\left(T=0\right)=0$

Это означает, что при $T=0$ все состояния с отрицательной энергией заняты, а все состояния с положительной энергией пусты. Это характерно для систем в физике твердого тела. Вы в основном имеете здесь Структуру Ленты : отрицательные энергии образуют так называемую Валентную Полосу , а положительные энергии формируют то, что известно как Полосу Проводимости . Валентная зона полностью занята электронами, что затрудняет работу с ней. Поэтому физики создают концепцию Дырки , или отсутствия электронов. В то время как валентная зона заполнена электронами, это равносильно тому, что она пуста от дырок — это легко лечить. Таким образом, дырки живут в валентной зоне, а электроны — в зоне проводимости.

Теперь наступает ключевая часть. Когда вы переводите электрон из валентной зоны в зону проводимости, вы, по сути, создаете пару электрон-дырка: в валентной зоне появляется дырка (электронная вакансия), а в зоне проводимости появляется электрон. Теперь очень важно отметить, что из-за этой симметрии количество электронов равно количеству дырок. Это верно только потому, что уровень Ферми расположен ровно посередине между двумя полосами.

Теперь мы понимаем интуицию, стоящую за этой проблемой. Следующий шаг — рассчитать количество электронов и количество дырок, потребовать, чтобы они были одинаковыми — и получить $\mu=\mu\left(T\right)$ . Как вы сказали, вероятность заполнения электронами при энергии $\epsilon$ задается функцией распределения Ферми-Дирака

ф_{е} (ϵ) "=" \frac{1}{е^{β (ϵ - мю)} + 1}

$f_{\rm e}\left(\epsilon\right)=\frac{1}{e^{\beta\left(\epsilon-\mu\right)}+1}$

с $\beta\equiv \frac{1}{K_{\rm B}T}$ . С другой стороны, вероятность заполнения дырки в валентной зоне равна вероятности отсутствия электрона

ф_{час} (ϵ) "=" 1 - ф_{е} (ϵ) "=" 1 - \frac{1}{е^{β (ϵ - мю)} + 1} "=" \frac{1}{е^{- β (ϵ - мю)} + 1}

$f_{\rm h}\left(\epsilon\right)=1-f_{\rm e}\left(\epsilon\right)=1-\frac{1}{e^{\beta\left(\epsilon-\mu\right)}+1}=\frac{1}{e^{-\beta\left(\epsilon-\mu\right)}+1}$

Таким образом, количество электронов и дырок соответственно определяется выражением

н_{е} (Т) "=" \int_{0}^{\infty} г ϵ Д (ϵ) ф_{е} (ϵ)

$n_{\rm e}\left(T\right)=\int_{0}^{\infty}{\rm d}\epsilon D\left(\epsilon\right)f_{\rm e}\left(\epsilon\right)$

н_{час} (Т) "=" \int_{- \infty}^{0} г ϵ Д (ϵ) ф_{час} (ϵ) "=" \int_{0}^{\infty} г ϵ Д (- ϵ) ф_{час} (- ϵ)

$n_{\rm h}\left(T\right)=\int_{-\infty}^{0}{\rm d}\epsilon D\left(\epsilon\right)f_{\rm h}\left(\epsilon\right)=\int_{0}^{\infty}{\rm d}\epsilon D\left(-\epsilon\right)f_{\rm h}\left(-\epsilon\right)$

при всех температурах. Здесь $D\left(\epsilon\right)$ это плотность состояний, и вы можете утверждать, что из-за симметрии $D\left(\epsilon\right)=D\left(-\epsilon\right)$ . Подключая дистрибутивы, получаем

н_{е} (Т) "=" \int_{0}^{\infty} г ϵ Д (ϵ) \frac{1}{е^{β (ϵ - мю)} + 1}

$n_{\rm e}\left(T\right)=\int_{0}^{\infty}{\rm d}\epsilon D\left(\epsilon\right)\frac{1}{e^{\beta\left(\epsilon-\mu\right)}+1}$

н_{час} (Т) "=" \int_{0}^{\infty} г ϵ Д (ϵ) \frac{1}{е^{β (ϵ + мю)} + 1}

$n_{\rm h}\left(T\right)=\int_{0}^{\infty}{\rm d}\epsilon D\left(\epsilon\right)\frac{1}{e^{\beta\left(\epsilon+\mu\right)}+1}$

Теперь вы можете сразу увидеть, что если $n_{\rm e}\left(T\right)=n_{\rm h}\left(T\right)$ верно для всех температур, то вы должны иметь

мю (Т) "=" 0

$\mu\left(T\right)=0$

для всех температур, как хотелось.

Большое спасибо за ваш ответ. Я не вижу, где конкретное соотношение дисперсии $\epsilon_k^{\pm} =\pm \hbar c \mathbf k$ входит в ваш вывод, помимо симметрии, используемой в ваших функциях плотности состояний. Верно ли это для любой формы (симметричной) энергии одиночной частицы для фермионов?
@SahandTabatabaei Дисперсионное соотношение просто дает вам плотность состояний и ничего более. Это верно всякий раз, когда вы вычисляете средние значения в статистической механике. В этом случае важным свойством плотности состояния является четность, т.е. $D(\epsilon)=D(-\epsilon)$ , что является следствием наличия симметричной структуры энергетических уровней вокруг $\epsilon=0$ . Итак, если у вас есть дисперсионное соотношение, симметричное относительно $\epsilon=0$ вы получите тот же результат, что и $\mu(T)=0$ для всех $T$ с. Это не должно быть для вас сюрпризом. В этом конкретном случае нет особых замечаний.
@SahandTabatabaei Кроме того, если вы знаете соотношение дисперсии, вы даже можете явно рассчитать в нескольких приближениях оба $n_{\rm e}(T)$ и $n_{\rm h}(T)$ . Если вы сделаете это, то увидите, что по мере повышения температуры создается больше электронно-дырочных пар.
Это имеет смысл. Если я правильно понимаю, мы просто вычисляем количество электронов над уровнем Ферми и количество электронов, отсутствующих под ним (количество дырок), и приравниваем их. Тем не менее, у меня все еще есть некоторые вопросы. Что означает для электронов иметь (неограниченную) отрицательную энергию? Кажется, что в валентной зоне находится бесконечное количество электронов. Я чувствую, что не знаю некоторых очень простых предположений физики твердого тела. У всей системы должна быть конечная энергия основного состояния, верно? Что мне не хватает?
Кроме того, почему мы исходим из того, что у нас бесконечные электроны?
@SahandTabatabaei Почти. Вы правы, кроме того, мы не вычисляем числа выше и ниже уровня Ферми. Рассчитаем количество электронов в верхней зоне ( $\epsilon>0$ ) и количество отверстий в нижней полосе ( $\epsilon<0$ ). Это просто совпадение, что уровень Ферми находится посередине. В других случаях может быть так, что $\epsilon_{\rm F}>0$ например, при этом пределы интегралов останутся прежними - мы суммируем по полосам.
@SahandTabatabaei Что касается бесконечных электронов - это всего лишь приближение. Распределение Ферми-Дирака падает экспоненциально, как $f(\epsilon)\sim e^{-\beta\left(\epsilon-\mu\right)}$ так что на самом деле не имеет значения, что происходит в $\epsilon\rightarrow\pm\infty$ . Это незначительно. В реальных случаях число электронов, конечно, конечно, и сами полосы на самом деле представляют собой сгусток близко разделенных дискретных энергетических состояний, а не континуум.
Но разве распределение Ферми-Дирака не становится равным 1, когда $\epsilon \rightarrow -\infty$ ? Показатель степени в знаменателе идет к $- \infty$ , что дает экспоненциальный член 0 и знаменатель 1. Это имеет смысл с одной стороны, потому что чем глубже состояние находится в море Ферми, тем выше шансы, что оно будет занято электроном. Однако это все равно означает, что количество электронов и энергия системы бесконечны. Я хочу знать диапазон действия этой модели. Для каких величин можно использовать эту модель в расчетах? Число электронов и полная энергия не являются одними из них.
@SahandTabatabaei Ваше наблюдение о распределении Ферми-Дирака в $\epsilon\rightarrow-\infty$ верно. Но именно поэтому мы говорим о дырках, а не об электронах в валентной зоне. Вы можете легко увидеть, что $f_{\rm h}(\epsilon\rightarrow-\infty)\sim e^{\beta(\epsilon-\mu)}\ll 1$ . Ключевым моментом здесь является то, что вы можете рассчитать все желаемые величины, но вы должны рассматривать систему как электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне. Поступая таким образом, вы можете отказаться от бесконечного заполнения электронами в пределе $\epsilon\rightarrow-\infty$ что вызывает проблемы.
@SahandTabatabaei Вся физика происходит между проводимостью и валентной зоной. Уровни энергии, находящиеся слишком глубоко (или слишком глубоко над зоной проводимости), не вносят вклада в какие-либо измеримые эффекты при разумных температурах.

Кайт.Y · Answer 2

Ответ @eranreches полон и достаточно хорош. Просто хочу добавить несколько крошечных комментариев о решении в исходном вопросе:

Во-первых, как вы уже заметили, есть две ветви, в то время как в вашем расчете вы использовали только одну из них: это означает, что вы пытаетесь заполнить электроны только в положительные энергетические состояния, тогда любое конечное количество заполнений приведет к положительному химическому потенциалу. $\mu$ в $T=0$ , который является самым высоким энергетическим уровнем, достигнутым после того, как вы заполните все электроны.

Во-вторых, если вы также примете во внимание отрицательную энергию, но по-прежнему попытаетесь использовать стандартный интеграл Ферми-Дирака для расчета, то вы заметите, что существует бесконечное количество уровней с отрицательной энергией, которые могут быть заполнены - нет нижней границы для уровней энергии. , что приводит к катастрофе, поскольку вы даже не знаете, где начать заполнять электроны. И это одна из причин, по которой @eranreches использовал плотность состояний $D(\epsilon)$ в его вычислении, что могло бы избежать проблемы в явном вычислении. В то время как в реальном мире, например, в твердотельных системах, любая энергетическая полоса, конечно, ограничена конечным энергетическим окном, а также импульс $k$ также будет принимать конечное значение; то, более конкретно, у вас может быть $D(|\epsilon| > \epsilon_0) = 0$ .

В-третьих, линейная дисперсия довольно распространена в твердом состоянии и связана со многими интересными темами: например, жидкость Латтинжера, конусы Дирака... Обычно это приближение только для конечного числа состояний, обозначенных $k$ в полной зоне Брилиуна и в основном наблюдается в случае пересечения (или касания) полос: когда две полосы пересекаются друг с другом, область вокруг точки пересечения будет иметь линейную дисперсию $\epsilon \sim |k|$ . И смысл $\mu(T=0)=0$ в данном случае это как раз то, что электроны заполняют все состояния ниже этой точки пересечения.

В общем, были бы другие дисперсии для касания полосы, например $\epsilon\sim k^2$ . (Вы можете найти что-то похожее здесь: arXiv 1603.03093.)

Если рассчитать внутреннюю энергию системы, $U=\int_{-\infty}^{\infty}\epsilon f(\epsilon,\mu=0) D(\epsilon) d\epsilon$ , интеграл будет расходиться. Как я могу понять это?
@Lenol Ты просто не делаешь этого таким образом. Вместо этого давайте исправим $U(T=0)=0$ . Мы можем это сделать, потому что энергия определена с точностью до константы. Теперь представьте, что вы возбуждаете электрон с уровня $-\epsilon$ на уровень $\epsilon$ . Это означает, что вы создаете отверстие в $-\epsilon$ с энергией $-\left(-\epsilon\right)=\epsilon$ и электрон на $\epsilon$ с энергией $\epsilon$ . Полная энергия системы увеличилась на $2\epsilon$ .
@Lenol По тем же рассуждениям вы можете построить общее выражение для энергии системы. $U "=" \int_{- \infty}^{0} (- ϵ) ф_{час} (ϵ) Д (ϵ) г ϵ + \int_{0}^{\infty} ϵ ф_{е} (ϵ) Д (ϵ) г ϵ$ $U=\int_{-\infty}^{0}(-\epsilon)f_{\rm h}(\epsilon)D(\epsilon){\rm d}\epsilon+\int_{0}^{\infty}\epsilon f_{\rm e}(\epsilon)D(\epsilon){\rm d}\epsilon$ Это выражение сходится, потому что $ф_{час} (ϵ \to - \infty) \to 0$ $f_{\rm h}(\epsilon\rightarrow-\infty)\rightarrow 0$ и $ф_{е} (ϵ \to \infty) \to 0$ $f_{\rm e}(\epsilon\rightarrow\infty)\rightarrow 0$ экспоненциально быстро.
@Lenol Ага, eranreches уже ответил на твой вопрос. Или, как я упоминал выше, если вы действительно просто хотите посмотреть на сам вопрос и рассматривать его полностью как проблему «заполнения энергетического уровня одного электрона», не принимая во внимание дыры в твердых телах или сдвиг постоянной энергии, тогда проблема, строго говоря, не вполне определено --- всегда должна быть нижняя граница энергии для любой системы. Поэтому, чтобы решить эту проблему, вы должны сначала правильно объяснить ее.

Химический потенциал идеального ферми-газа с энергиями отдельных частиц ϵ±k=±ℏc|k|ϵk±=±ℏc|k|\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|

Саханд Табатабаи

ленол

Саханд Табатабаи

ленол

Саханд Табатабаи

Ответы (2)

еранреш

Саханд Табатабаи

еранреш

еранреш

Саханд Табатабаи

Саханд Табатабаи

еранреш

еранреш

Саханд Табатабаи

еранреш

еранреш

Кайт.Y

ленол

еранреш

еранреш

Кайт.Y

Химический потенциал как функция температуры

Распределение Ферми-Дирака в высокотемпературном пределе

Большая каноническая статистическая сумма гипотетических частиц

Предел распределения Ферми-Дирака при стремлении TTT к нулю

Что значит сказать, что энергия Ферми равна энергии прыжка?

Химический потенциал в квантовых теориях поля

Статистика Ферми-Дирака против статистики Максвелла Больцмана в атомном возбуждении лазерных систем

Энергия классического идеального газа в большом каноническом ансамбле

Почему нулевой химический потенциал не допускает бозе-эйнштейновской конденсации фононов?

Почему химический потенциал конденсата Бозе-Эйнштейна обращается в нуль?