Многие источники могут сказать вам, что путь траектории является параболой . Действительно, все математические формулы и расчеты, касающиеся траекторий падающих, брошенных или движущихся объектов, поддерживают эту интерпретацию. Но когда имеешь дело со спутниками Земли и баллистическими ракетами, правда в том, что их орбиты представляют собой части эллипсов .

Канон Ньютона на горе

Пушечное ядро ​​Ньютона было мысленным экспериментом Исаака Ньютона, который использовал его для выдвижения гипотезы о том, что сила гравитации универсальна и является ключевой силой для движения планет.

Вот его интерактивная версия: Пушка Ньютона на горе.

Если скорость объекта меньше космической (для Земли она равна 11,2 км/с ), его траектория представляет собой эллипс . Если объект имеет скорость, равную скорости убегания, он имеет параболическую траекторию. Если она больше скорости убегания, то гиперболическая .

Обычно, когда мы бросаем объект, фактический путь объекта является частью большего эллипса, как показано на изображении ниже, но поскольку скорости недостаточно, объект падает на землю до завершения полного эллиптического пути, который кажется параболой.

Параболические траектории становятся все более и более плоскими по мере того, как пушка стреляет быстрее. Ньютон вообразил, что гора настолько высока, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, а пушка достаточно мощная.

PS: гора Ньютона была невероятно высока, но он понял, что движение Луны по окружности вокруг Земли может быть вызвано той же гравитационной силой, которая тянет пушечное ядро ​​по своей орбите, другими словами, той же силой, которая заставляет предметы падать.

Ответ на ваш вопрос заключается в том, что траектория футбола действительно «эллиптическая», поскольку его скорость намного меньше скорости убегания. Но нам мы «приближаем его путь к параболе».

ОБНОВЛЕНИЕ: Математический ответ на ваш вопрос.

Мы можем использовать уравнения движения снаряда следующим образом.

Уравнение траектории движения снаряда:

$\displaystyle y= x\tan\theta -{\frac{g}{2u^2\cos^2\theta}}x^2$

(да, это уравнение параболы, но я упоминал ранее, что математическая формула и расчеты, связанные с траекториями объекта, приближены к параболе)

Теперь из вашего вопроса мы можем столкнуться с ситуациями:

СЛУЧАЙ 1. Когда объект брошен под углом$\theta_1$со скоростью$u$

Тогда максимальная высота, которую достигнет объект, определяется как:

$\displaystyle h=\frac{u^2\sin^2\theta_1}{2g}$

Сейчас если$\theta_1= 30^\circ$и начальная скорость$u= 100\ \mathrm{m/s}$(просто для рассмотрения)

Тогда максимальная высота, которую достигнет объект, равна:

$h= 127.55$метров

Теперь, используя тот же угол и скорость, если мы рассчитаем максимальное пройденное расстояние (называемое дальностью полета снаряда), мы получим

$\displaystyle R_\text{max}=\frac{u^2\sin2\theta_1}{g}$

Теперь, подставив значения, мы имеем$R=883.69$метров

СЛУЧАЙ 2: Когда объект брошен под большим углом, чем раньше, но с той же скоростью.

Теперь скажи угол$\theta_2=60^\circ$(больший угол, чем раньше) и$u=100\ \mathrm{m/s}$

Затем, используя то же уравнение, которое мы использовали до того, как мы получили

$h= 382.65$метров и$R= 441.83$метров

РЕЗУЛЬТАТ:

Мы можем ясно видеть, что максимальная высота в случае-1 меньше, чем у случая-2 , а максимальная дальность в случае-1 выше, чем у случая-2.

Это означает, что путь в случае 1 менее высокий и более дальний. Но путь в случае-2 выше и менее далеко. Смотрите изображение ниже для большего пояснения.

(Извините за причудливые цвета :P)

Источник изображения: http://www.faculty.virginia.edu/rwoclass/astr1210/guide08.html ; https://www.lhup.edu/~dsimanek/scenario/secrets.htm .

Чтобы немного развить наши комментарии, вы имеете в виду, что вы ожидаете, что траектория будет другой формы в конце, чем в начале? Это опять же возможно только при трении. Если трения нет, ваше уравнение движения Ньютона выглядит так:

$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = m \vec{g}$

и инвариантен относительно преобразования$t \mapsto -t$(говорят, что он имеет симметрию обращения времени ). Практическим следствием этого является то, что ваша траектория должна иметь некоторую ось симметрии: футбольный мяч не может двигаться иначе, летая вверх, чем падая вниз, потому что каждое из этих движений отображает друг друга через преобразование обращения времени.

Однако, если вы добавите термин трения, например

$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = m \vec{g} - k \frac{d \vec{r}}{dt}$

(с$k >0$)

тогда вы нарушаете симметрию обращения времени, потому что$\vec{v}$становится$- \vec{v}$под это преобразование. Таким образом, как указал @leftaroundabout, вам нужен термин трения, чтобы получить искажение траектории, которое вы описали в своем вопросе.