Вывод преобразования при изменении масштаба Вейля в уравнении Полчинского. (1.2.31)

Как говорит Прахар, вы просто вычисляете скаляр Риччи$R'$следуя обычному определению - двойное сжатие тензора Римана - которое вычисляется из символов Кристоффеля и его производных, где метрика$\gamma'$выражается как$\exp(2\omega)\gamma$заменяется везде. На одну страницу, наверное, не поместится.

Однако есть более быстрый косвенный способ установить формулу.

Во-первых, рассчитать$R'$для постоянного т.е.$(\tau,\sigma)$-независимый$\omega$. Расстояния, рассчитанные по$\gamma'$метрика просто$\exp(\omega)$раз дольше, чем те, которые рассчитаны по$\gamma$. Таким образом, скаляр Риччи рассчитывается из$\gamma'$, равно$C/a^2$где$C$является константой и$a$– некоторый радиус кривизны,$\exp(-2\omega)$умножить на скаляр Риччи, вычисленный из$\gamma$. Единственный способ получить формулу для$\exp(-2\omega)$в этом простом масштабировании с помощью$\gamma,\gamma'$только это

$$\exp(-2\omega) = \frac{\sqrt{-\gamma}}{\sqrt{-\gamma'}}$$ Поэтому у нас есть $$R' = R \exp(-2\omega) = R \frac{\sqrt{-\gamma}}{\sqrt{-\gamma'}}$$ для постоянного $\omega$. Это согласуется с вашей формулой в вашем частном случае. На всякий случай, если мы напишем $\exp(-2\omega)$к формуле явно, вместо отношения двух квадратных корней определителей, это все еще было бы действительным, потому что для двух метрик, связанных перемасштабированием, отношение двух определителей дается степенью $\exp(\omega)$.

Теперь рассмотрим переменную$\omega$. Понятно, что$R$, скаляр Риччи, содержит только вторые производные от$\omega$, поэтому выражение для$R'$может зависеть только от$\omega$и первая и вторая производные от него. Зависимость от$\omega$сама уже выяснена, поскольку полностью определяется случаем константы$\omega$.

Теперь самое общее соотношение для переменной$\omega$может зависеть от производных через$\nabla\omega\cdot \nabla \omega$и$\nabla^2\omega$потому что это единственные два ковариантных выражения, которые можно построить из первых двух производных от$\omega$. И отношения между$R,R'$должна быть задана хорошей ковариантной (учитывающей тензорную структуру) формулой, потому что связь между$\gamma,\gamma'$также выражается хорошей ковариантной (с учетом тензорной структуры) формулой.

Зависимость от$\nabla\omega\cdot \nabla\omega$на самом деле не может быть там, потому что это четная функция (al)$\omega$. Так что вы не можете сказать, что$R'$увеличивается на кратное этому выражению относительно$R$потому что обратное отношение должно давать уменьшение, а это$\nabla\omega\cdot \nabla\omega$имеет один и тот же знак в обоих случаях.

Вот почему формула должна быть изменена только кратно$\nabla^2\omega$куда-то вставил. Очень просто убедить себя, что с точностью до соотношения (квадратичных корней) детерминант отношения должны просто задаваться выражением$\dots R-2\nabla^2\omega$. Например, вы можете записать метрику сферы в конформно плоской форме и убедиться, что если$R=0$за квартиру$\gamma$,$R'=2/a^2$, искомый скаляр Риччи для сферы радиуса$a$, может быть вычислено из ковариантного лапласиана$\omega$.

Я понимаю, что этот ответ приходит спустя много лет после того, как вопрос был впервые задан и на него был дан ответ, но, поскольку я, вероятно, не последний, кто борется с этим, я подумал, что, возможно, стоит дать его в любом случае.

Основываясь на объяснении Любоша, что по ковариации результат должен быть в форме$g^{1/2} \left(R+a \nabla \omega \cdot \nabla \omega + b \nabla^2 \omega \right)$(с$g=-\gamma$), довольно просто вычислить$a$и$b$явно, не выполняя полный расчет, используя аргументы симметрии или переходя к определенной метрике.

Чтобы определить$b$Обратите внимание, что$\nabla^2 \omega = \partial^2 \omega$+ члены, не содержащие производной второго порядка. Таким образом, мы можем найти$b$путем выявления предфактора$\partial^2$в$R'$. Это может происходить только от членов, которые имеют производную связи

$$\begin{align} R' & = g'^{ab} R'_{ab} = g'^{ab} R'^c_{acb} = g'^{ab} \left( \partial_c \Gamma'^c_{ba} - \partial_b\Gamma'^c_{ca} + \cdots \right) \nonumber\\ \end{align}$$ Сейчас $$\begin{align} \Gamma'^{a}_{bc} &= \frac{1}{2} g'^{ad} \left( \partial_b g'_{cd} + \partial_c g'_{bd} - \partial_d g'_{bc} \right)= \Gamma^{a}_{bc} + \Delta^{a}_{bc} \end{align}$$ где $$\begin{align} \Delta^{a}_{bc} = g^{ad}\left( g_{cd}\partial_b\omega + g_{bd} \partial_c \omega - g_{bc} \partial_d \omega \right) \end{align}$$ Поэтому $$\begin{align} g'^{1/2} R' & = e^{+2\omega}g^{1/2} e^{-2\omega} g^{ab}\left( \partial_c \Delta^c_{ba} - \partial_b\Delta^c_{ca} + \cdots \right)= - g^{1/2} d \partial^2 \omega \end{align}$$ и так$b=-d=-2$.

Один находит$a$Аналогичным образом. Потому что$\nabla \omega\cdot \nabla \omega = \partial^a \omega \partial_a \omega$,$a$следует из коэффициента$\partial_a\omega \partial_b \omega$в$R'$. Эти термины могут исходить только из продуктов сокращений.

$$\begin{align} R' & = g'^{ab} \left( \Gamma'^{c}_{ce}\Gamma'^{e}_{ba} - \Gamma'^{c}_{be}\Gamma'^{e}_{ca} \right) + \cdots = e^{-2w} g^{ab} \left( \Delta^{c}_{ce}\Delta^{e}_{ba} - \Delta^{c}_{be}\Delta^{e}_{ca} \right) + \cdots \end{align}$$ Теперь простой расчет дает $$\begin{align} \Delta^{c}_{ce}\Delta^{e}_{ba} &=2d \partial_a\omega \partial_b \omega -d g_{ab} \partial^c\omega \partial_c \omega \nonumber\\ \Delta^{c}_{be}\Delta^{e}_{ca} &=(d+2) \partial_a\omega \partial_b \omega -2 g_{ab} \partial^c\omega \partial_c \omega \end{align}$$ и так$\Delta^{c}_{ce}\Delta^{e}_{ba} - \Delta^{c}_{be}\Delta^{e}_{ca} =0$для$d=2$. Поэтому$a=0$.