Численное определение спектров краевых состояний

Просто, совместите как реальное, так и$\mathbf{k}$-космические картинки! Основная идея состоит в том, чтобы разделить$n$-мерная система на несколько$(n-1)$-мерные системы. Например, предположим, что у вас есть двумерная квадратная решетка, и вы определяете ребра вдоль нее.$x$-направление. Затем вам нужно разбить 2D-решетку на 1D-решетки, указывающие на$x$-направление. Другими словами, вам нужно нарушить трансляционную симметрию в$y$-направление. Ради (аналитической) простоты рассмотрим модель, обсуждаемую в:

Маркус Кениг, Хартмут Бухманн, Лоренс В. Моленкамп, Тейлор Хьюз, Чао-Син Лю, Сяо-Лян Ци и Шоу-Ченг Чжан. « Квантовый спиновой эффект Холла: теория и эксперимент ». Журнал Физического общества Японии 77 , вып. 3 (2008): 031007. ( архив )

В уравнении (10) у них есть$\mathbf{k}$-пространственная модель, также известная как модель Берневига-Хьюза-Жанга (BHZ), всей 2D-системы

$${\cal H}=\sum_{\mathbf{k}}\left(A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+A\sin(k_{y})\Gamma^{2}+{\cal M}(\mathbf{k})\Gamma^{5}\right)c_{\mathbf{k}}^{\dagger}c_{\mathbf{k}}$$ где $M(\mathbf{k})=M-2B\left(2-\cos(k_{x})-\cos(k_{y})\right)$и постоянная решетки была установлена ​​​​на 1. Следующий шаг, как уравнение. (11) указывает на то, что преобразование Фурье обратно в реальное пространство осуществляется только за $y$-направление, но оставить $x$- направление без изменений. Именно это я имел в виду, когда сказал, что мы «объединяем реальное и $\mathbf{k}$-космические снимки». Другими словами, мы нарушаем трансляционную симметрию только в $y$-направление. Это делается путем подключения Eq. (11), которое повторяется здесь для удобства, в приведенное выше уравнение $$c_{\mathbf{k}}=\frac{1}{L}\sum_{j}e^{ik_{y}j}c_{k_{y},j}$$ где $j$— координата решетки (или одномерной цепочки) в $y$-направление и $y=0,1,2,\dots L$. В этом примере $L$не будет иметь большого значения; но это произойдет, когда вы вычислите дисперсию численно. Грубая сила plug-and-play дает

$$\mathcal{H} = \frac{1}{L^{2}}\sum_{k_{x}k_{y}}\left[A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+\frac{A}{2i}\left(e^{ik_{y}}-e^{-ik_{y}}\right)\Gamma^{2}\right. \\ \left.+\left(M-2B\left(2-\cos(k_{x})-\frac{1}{2}\left(e^{ik_{y}}+e^{-ik_{y}}\right)\right)\right)\Gamma^{5}\right]\sum_{\ell}e^{-ik_{y}\ell}c_{k_{x},\ell}^{\dagger}\sum_{j}e^{ik_{y}j}c_{k_{x},j}$$

$$\mathcal{H} = \frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\left[A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+\left(M-4B+2B\cos(k_{x})\right)\Gamma^{5}\right]c_{k_{x},j}^{\dagger}c_{k_{x},j} \\ +\frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\left(-\frac{iA}{2}\Gamma^{2}+B\Gamma^{5}\right)c_{k_{x},j+1}^{\dagger}c_{k_{x},j}$$

$$\mathcal{H} = \frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\mathcal{M}(k_{x})c_{k_{x},j}^{\dagger}c_{k_{x},j}+\frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\mathcal{T}^{\dagger}c_{k_{x},j+1}^{\dagger}c_{k_{x},j}+\frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\mathcal{T}c_{k_{x},j-1}^{\dagger}c_{k_{x},j}$$

где$\mathcal{M}(k_{x})=A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+\left(M-4B+2B\cos(k_{x})\right)\Gamma^{5}$и$\mathcal{T}=(iA/2)\Gamma^{2}+B\Gamma^{5}$и мы использовали тождество дельта-функции типа

$$\frac{1}{L}\sum_{k_{y}}e^{ik_{y}(j-\ell\pm1)}=\delta_{j-\ell\pm1}$$ несколько раз. С анзацем в уравнении. (15), т.е. $\psi_{\alpha}(j)=\lambda^{j}\phi_{\alpha}$, можно получить аналитическое решение краевых состояний (см. уравнение (22)). Решение уравнения на собственные значения с использованием этого анзаца изящно обсуждалось в разделе 2.2:

Г. Ткачев и Е. М. Ханкевич. « Спин-спиральный транспорт в нормальных и сверхпроводящих топологических изоляторах ». physica status solidi (b) 250 , no. 2 (2013): 215. ( arXiv )

и я не буду повторяться здесь. В случае с графеном, как обсуждали Кейн и Меле, нам не так повезло. В этом случае нам нужно численно диагонализовать приведенный выше гамильтониан, выбрав$L$= 50-100. Главный критерий при определении$L$гарантирует, что волновая функция краевого состояния перекрывается на противоположных границах ($y$=0 и$y=L$) пренебрежимо мал. Я думаю, что вы просто догадываетесь об этом методом проб и ошибок.

Еще одно основное различие между BHZ и моделью Кейна-Меле заключается в том, что в модели Кейна-Меле у нас есть дополнительная сложность определения того, имеем ли мы границу зигзага или кресла. В зависимости от того, какой выбор мы делаем, нам нужно соответствующим образом определить 1D-системы; они явно не будут прямыми линиями, как в BHZ, и будут зависеть от того, нарушаете ли вы трансляционную симметрию в$x$- или$y$-направление.

Надеюсь, это помогло.

PS : я знаю, что пропустил несколько шагов в приведенных выше алгебраических манипуляциях и отнес остальную часть решения к приведенной выше статье. Если вам интересно, я могу загрузить документ в формате PDF, содержащий все шаги.