Что это означает с точки зрения зонной структуры , когда мы говорим, что любой топологический инвариант некоторой системы отличен от нуля? Например, что имеется в виду, когда мы говорим, что число Черна=1 в случае ИКЭХ?
Означает ли это, что существуют топологические инвариантные временные зоны, пересекающие уровень Ферми?
Динамика физических систем описывается дифференциальными уравнениями. Таким образом, обычно это означает, что эволюция является непрерывной и уникальной функцией начальных или граничных параметров и времени. Траектории не пересекаются, разные решения не совпадают и т. д. Топология — это часть математики, изучающая непрерывные изменения объектов. Например, вы можете взять лист бумаги и сложить оригами. Пока вы не пользуетесь ножницами и не отрываете бумагу, вы совершаете непрерывные преобразования. Может быть, даже лучше подумать о резиновом оригами, растянутом и сжатом, но не склеенном и не порванном. В таких системах, если исходить из какой-то своеобразной топологической конфигурации, например кольца (вспомните: замкнутая, периодическая траектория), оно может сильно измениться, стать даже сложным и хаотичным, но это все равно кольцо, сложен очень сложным образом. На самом деле одно из простейших топологических сохраняемых чисел — это число оборотов, подсчитывающее, сколько раз кольцо закручивается (подумайте о системе, где в центре колец, о которых мы говорим, находится нечто, что нельзя пройти, например, точка нулевой энергии в например, система, которая не может релаксировать свою энергию в окружающую среду.Помните: мы говорим о фазовом пространстве, а не о конфигурационном пространстве!). В таких системах число оборотов, скажем, равное 1, означает, что траектория делает один оборот вокруг такого центра в фазовом пространстве. Число витков равно 2, обороты 2 раза и т.д. Возможно, что разные числа витков означают разную энергию! Например, вы можете подумать о стальном ремне. Обмотка означает, что она образует вид спирали. Если намотать достаточно времени, у него может быть немного энергии.
Но так как вы согласны с тем, что вы должны намотать его определенное количество раз (вероятно, потому, что вы должны каким-то образом завязать его концы, предотвращая раскручивание), то эта система будет иметь дискретный энергетический спектр! И энергетические полосы отделялись одна от другой.
Таким образом, топологические инварианты могут привести к разделению траекторий в фазовом пространстве таким образом, что будет создан некоторый дополнительный порядок. Его даже называют топологическим фазовым переходом, потому что при изменении динамики этот порядок может нарушиться, что приведет к резкому изменению поведения системы.
Упомянутая вами ленточная структура является одним из сигналов такого дополнительного порядка. Это может проявляться в виде энергии, импульса, пространственного порядка и т. д./полос.
Очень похожие явления могут происходить в кристаллических цепочках, полупроводниках, квантовых системах, нелинейной динамике, динамике полимеров, низкотемпературных фазах, где энергия на частицу настолько мала, а системы изолированы, так что не могут нарушить квантовое взаимодействие и т. д.
Самое главное, что топологические сохраняющиеся величины обычно не зависят от различных физических характеристик, а зависят обычно только от самой базовой структуры системы: ее топологической конфигурации. И, конечно, обычно это зависит от непрерывных отношений, определенных в системе. Если какой-либо из параметров по каким-либо причинам стал не непрерывным, топологическое сохранение нарушается.