Как строятся топологические инварианты?

Топологический инвариант — это непрерывное отображение$n$:

К сожалению, точное определение$\mathfrak{H}$все еще является предметом текущих исследований. Короче говоря, мы знаем кое-что о том, что должно характеризовать ее элементы: они должны иметь какой-то зазор (спектральный зазор или зазор в подвижности), который превращает их в изолятор в случае, если рассматриваемая система бесконечна во всех направлениях пространства. (полубесконечные краевые системы могут быть проводниками, но должны происходить из бесконечных систем с зазорами). Они должны быть локальными (иметь недиагональные матричные элементы, экспоненциально затухающие на расстоянии между двумя точками в пространстве матричного элемента). Они должны быть самосопряженными, как и все гамильтонианы. Возможно, они должны подчиняться определенным симметриям, то есть коммутировать или антикоммутировать с некоторым (фиксированным) унитарным или антиунитарным оператором симметрии.

До сих пор единственные построенные топологические инварианты были такими$S$равно$\mathbb{Z}$или же$\mathbb{Z}_2$. Но это не высечено в камне. Результат наличия$S$дискретный заключается в том, что непрерывные отображения в него локально постоянны, отсюда и название инвариант .

Как такой$n$построен?

1) Придумать карту$n$, и докажите, что оно непрерывно. Если я не ошибаюсь, именно так появился инвариант FKM.

2) Использовать математическую теорию (гомотопической) классификации пространств для систематического генерирования инвариантов. Если вы далее предполагаете, что ваша система инвариантна к трансляции (физически плохое решение, потому что беспорядок необходим, например, для объяснения ключевых особенностей ИКЭХ), то вы могли бы просмотреть$\mathfrak{H}$как пространство векторных расслоений, а затем использовать теорию классификации векторных расслоений. См. книгу Милнора под названием «Характерные классы» для введения. Первое число Черна является примером инварианта, построенного таким образом в основополагающей статье ТККН. Если вы не предполагаете трансляционной инвариантности, вы попадаете в область некоммутативной геометрии, а затем существует параллельная теория характеристических классов, разработанная Аленом Конном. Здесь математическим объектом, заменяющим векторные расслоения, являются проекции в C-звездных алгебрах. Их гомотопическая теория называется «К-теория алгебры C-звезд», и хорошей книгой для начала является книга Рордама . Тогда параллелью книги Милнора в этом контексте была бы книга Хигсона под названием «Аналитическая K-гомология».. Теперь есть формула для некоммутативного первого числа Черна, не требующая блоховского разложения (просто пример, дополняющий пример первого числа Черна). Эту точку зрения отстаивал Жан Беллиссар. Будь то в коммутативной или некоммутативной геометрии, построение таких инвариантов является полностью систематическим и не оставляет места для выбора. Однако обратите внимание, что эта классификация не является полной, поэтому дальнейшие инварианты могут быть построены за рамками (коммутативных или некоммутативных) характеристических классов.

Насколько я понимаю, только в ИКЭХ сначала вычислялась физическая величина, а затем "опознавалась" как топологический объект. Я думаю, что все другие инварианты до сих пор были построены наоборот. Это не значит, что они не имеют физически измеримого значения. Другой интересный вопрос заключается в том, представляют ли эти величины реакцию системы на движущую силу (как в случае ИКЭХ, где холловская проводимость является линейной реакцией на возбуждение системы электрическим полем, которое вычисляется по формуле Кубо). Ответ на этот вопрос, кажется, «нет», и индекс FKM, вероятно, является одним из противоположных примеров.

Возможно, вам стоит начать с этой статьи . Краткое руководство по топологическим терминам в эффективных теориях конденсированного состояния , составленное Акихиро Танакой и Синтаро Такаёси (февраль 2015 г.), посвященное топологическим терминам в эффективных теориях поля CMP. Однако обзор, возможно, не исчерпывает всего, что появилось в литературе.

Топологический инвариант в системах с конденсированным состоянием — это число, не меняющееся при плавной деформации гамильтониана. Мне нравится думать, что это растяжение материала, которое может изменить, например, константы скачка. Способ, которым можно взять такое число, может варьироваться, и я не думаю, что в определении есть какое-то ограничение или что существует глубокая связь.

Например:

В системе с зиянием можно использовать фазу Берри для вычисления такого инварианта в области пространства параметров. (инвариант Z)

Другим случаем был бы случай, когда один ответ есть или нет вырожденных точек в зоне Бриллюэна. Ответ: да или нет (инвариант Z2).