Используя формулу Кубо, Таулесс, Комото, Найтингейл и ден Нийс (TKNN, PRL 49 405-408 (1982)) доказали, что при суммировании всех вкладов заполненных состояний изолятора холловская проводимость должна быть целым числом ( число Черна), умноженное на e^2/h.
В их теореме используются периодические граничные условия вдоль x и y, и поэтому они избегают обсуждения ребер. Однако интуитивное представление о квантовом эффекте Холла (КЭХ) основано на граничных токах (люди всегда говорят о пропуске орбит, движущихся по краю).
Теперь мой вопрос: почему некоторые люди говорят, что ребра — это вся история QHE, тогда как формулировка TKNN делает вид, что это не важно? В качестве альтернативы, как я могу убедить себя, что выводы из вывода TKNN верны и для открытых граничных условий?
Также из вывода ТКНН полученное число Черна кажется мне свойством объема. Есть ли простое доказательство, переводящее это число Черна в число краевых каналов при открытых граничных условиях?
Большое спасибо.
Объяснения TKNN (объемное) и Бюттикера (краевое) для квантованной холловской проводимости соответствуют разным геометриям.
В теории ТКНН «выборка» состоит из замкнутого на себя тора и поэтому вообще не имеет ребер. В этом случае электрический потенциал однороден, а электрическое поле обусловлено производной по времени от векторного потенциала (оно существует только до тех пор, пока изменяется магнитный поток внутри тора). В этом случае ток Холла является действительно объемным током.
Бюттикер, с другой стороны, рассматривает стержень Холла с разными электрохимическими потенциалами на каждой стороне. Если (как это делает Бюттикер) предположить, что электростатический потенциал однороден в центральной области стержня и возрастает по бокам, то обнаружится, что ток течет по краям (в противоположных направлениях), причем больший ток течет по одному. край, чем вдоль другого из-за различных химических потенциалов.
В более реалистичном описании электростатический потенциал неоднороден в объеме стержня, поэтому ток протекает как по краям, так и внутри стержня. В любом случае чистый ток совершенно не зависит от фактического профиля электростатического потенциала на стержне Холла и зависит только от разности химических потенциалов. Вот почему Бюттукер и ТКНН получают один и тот же ответ для (квантованного) полного тока.
Хорошее обсуждение этого вопроса дает Yoshioka .
Цзя Иян
ППР