Вывод формулы Кубо для проводимости Холла

Question

Вывод формулы Кубо для проводимости Холла

Физика
многотелый
конденсированное вещество
квантовый эффект холла
топологические изоляторы

Медовая горчица

Я пытаюсь получить результат формулы TKNN, но испытываю трудности с выводом формулы Кубо. Формула Кубо, используемая в статье TKNN, такова:

о_{Икс у} "=" \frac{я е^{2}}{ℏ} \sum_{Е^{а} < Е_{Ф} < Е^{б}} \frac{⟨ а | в_{Икс} | б ⟩ ⟨ б | в_{у} | а ⟩ - ⟨ а | в_{у} | б ⟩ ⟨ б | в_{Икс} | а ⟩}{(Е^{а} - Е^{б})^{2}} .

$\sigma_{xy}= \frac{ie^2}{\hbar} \sum_{E^a < E_F < E^b} \frac{\langle a|v_x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle - \langle a|v_y|b \rangle \langle b|v_x|a \rangle}{(E^a - E^b)^2} .$

Следующее моя работа до сих пор. Прежде всего, из теории линейного отклика для общей наблюдаемой

О "=" ⟨ \hat{О} (т) ⟩ - я \int_{т_{0}}^{т} г т^{'} ⟨ [\hat{О} (т), {ЧАС}_{е Икс т} (т^{'})] ⟩

$O=\langle\hat{O}(t)\rangle-i\int_{t_0}^{t}\mathrm{d} t' \langle[\hat{O}(t),H_{\mathrm{ext}}(t')]\rangle$ где

H_{e x t}

$H_{\mathrm{ext}}$ — возмущающий гамильтониан. С

H_{e x t} = - \int J \cdot A (r, t) d^{3} r

$H_{\mathrm{ext}}=-\int J\cdot A(r,t)\mathrm{d}^3r$ , если мы рассмотрим плотность тока, мы имеем

{\vec{Дж}}_{я} (р, т) "=" ⟨ {Дж}_{я} (т) ⟩ + я \int_{- \infty}^{т} г т^{'} \int г^{3} р^{'} ⟨ [{Дж}_{я} (р, т), {Дж}_{Дж} (р^{'}, т^{'})] ⟩ А_{Дж} (р^{'}, т^{'}) .

$\vec{J}_i(r,t)=\langle j_i(t)\rangle+i\int_{-\infty}^{t}\mathrm{d} t'\int\mathrm{d}^3{r'} \langle[j_i(r,t),j_j(r',t')]\rangle A_j(r',t').$ Игнорируя первый член, мы можем переписать это как

{\vec{Дж}}_{я} (р, т) "=" - \int_{- \infty}^{\infty} г т \int г^{3} р р_{я Дж} (р - р^{'}, т - т^{'}) А_{Дж} (р^{'}, т^{'})

$\vec{J}_i(r,t)=-\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}t\int \mathrm{d}^3r R_{ij}(r-r',t-t')A_j(r',t')$ где

р_{я Дж} (р - р^{'}, т - т^{'}) "=" - я θ (т - т^{'}) ⟨ [{Дж}_{я} (р, т), {Дж}_{Дж} (р^{'}, т^{'})] ⟩ .

$R_{ij}(r-r',t-t')=-i\theta(t-t')\langle[j_i(r,t),j_j(r',t')]\rangle.$ Мы можем предположить, что

A (r, t) = A (r) e^{- i ω t}

$A(r,t)=A(r)e^{-i\omega t}$ показать, что

E (r, t) = i ω A (r, t)

$E(r,t)=i\omega A(r,t)$ . Тогда, преобразуя Фурье выражение для ожидаемого значения плотности тока, получаем

\vec{Дж} (к, ю) "=" - \frac{р_{я Дж} (к, ю)}{я ю} Е_{Дж} (к, ю)

$\vec{J}(k,\omega)=-\frac{R_{ij}(k,\omega)}{i\omega}E_j(k,\omega)$ что означает проводимость по постоянному току

о_{я Дж} "=" \underset{ю \to 0}{лим} \frac{я р_{я Дж} (к, ю)}{ю}

$\sigma_{ij}=\lim_{\omega\rightarrow0}\frac{iR_{ij}(k,\omega)}{\omega}$ Можно показать, что преобразование Фурье функции отклика:

р_{я Дж} (к, ю) "=" - я \int_{0}^{\infty} г т е^{я ю т} ⟨ [{Дж}_{я} (к, т), {Дж}_{Дж} (- к, 0)] ⟩

$R_{ij}(k,\omega)=-i\int_0^\infty \mathrm{d} t e^{i\omega t}\langle[j_i(k,t),j_j(-k,0)]\rangle$ Если мы оцениваем значения ожидания, используя большой канонический ансамбль (т.е.

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (e^{- β H} \hat{O}) / Z

$\langle \hat{O}\rangle = Tr(e^{-\beta H} \hat{O})/Z$ где

H

$H$ включает хим. горшок.) и со временем интегрировать и выполнить первый заказ

ω

$\omega$ расширение мы заканчиваем с

р_{я Дж} (к, ю) "=" \sum_{н, м} (е^{- Е_{м} β} - е^{- Е_{н} β}) (\frac{⟨ н | {Дж}_{я} (к, ю) | м ⟩ ⟨ м | {Дж}_{Дж} (- к, ю) | м ⟩}{Е_{н} - Е_{м} + я ϵ} - ю \frac{⟨ н | {Дж}_{я} (к, ю) | м ⟩ ⟨ м | {Дж}_{Дж} (- к, ю) | м ⟩}{(Е_{н} - Е_{м} + я ϵ)^{2}}) / Z

$R_{ij}(k,\omega)=\sum_{n,m}(e^{-E_m \beta}-e^{-E_n\beta})\left(\frac{\langle n|j_i(k,\omega)|m\rangle\langle m|j_j(-k,\omega)|m\rangle}{E_n-E_m+i\epsilon}-\omega\frac{\langle n|j_i(k,\omega)|m\rangle\langle m|j_j(-k,\omega)|m\rangle}{(E_n-E_m+i\epsilon)^2}\right)/Z$ Вот откуда я не знаю, как действовать. Все выводы формулы Кубо, которые я нашел на этом сайте и других онлайн-ресурсах, не учитывают позиционную зависимость оператора плотности тока. Любые советы, которые укажут мне в правильном направлении, будут оценены.

Эверетт Ю

Возможный дубликат формулы Кубо для квантового эффекта Холла

Эверетт Ю

Пожалуйста, взгляните на physics.stackexchange.com/q/1906 . Ответ объясняет, почему первый член обращается в нуль, а второй дает формулу Кубо. Вывод здесь применим для операторов тока, зависящих от положения, просто замените каждый

v_{i}

$v_i$ оператор там вашим

j_{i} (\pm k)

$j_i(\pm k)$ , алгебра все еще проходит.

Медовая горчица

@EverettYou Как именно эта замена - замена

j_{i} (\pm k) \to v_{i}

$j_i(\pm k)\to v_i$ --работа? Предполагается ли в документе TKNN, что текущий оператор не зависит от позиции?

Эверетт Ю

Потому что текущий

j

$j$ пропорциональна скорости

v

$v$ электрона как

j = - e v

$j=-ev$ , так что по сути это один и тот же оператор. В документе TKNN не предполагалось, что текущий оператор не зависит от позиции. Матричный элемент

⟨ a | v (q) | b ⟩

$\langle a|v(q)|b\rangle$ имеет смысл, если мы включим импульсную зависимость

v

$v$ , т.е.

v (q)

$v(q)$ просто разбросает состояние

| b ⟩

$|b\rangle$ импульса

k

$k$ в другое государство

| a ⟩

$|a\rangle$ импульса

k + q

$k+q$ . Можно еще просуммировать по всей такой паре состояний, которая удовлетворяет

E_{a} < E_{F} < E_{b}

$E_a<E_F<E_b$ и получим зависящую от импульса холловскую проводимость

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(q)$ .

Медовая горчица

@EverettYou Я, должно быть, что-то недопонимаю. Разве холловская проводимость не должна зависеть от импульса?

Эверетт Ю

Комментарий слишком короткий для объяснения. Пожалуйста, посмотрите на мой ответ ниже.

Ответы (1)

Вывод формулы Кубо для проводимости Холла

Возможный дубликат формулы Кубо для квантового эффекта Холла
Пожалуйста, взгляните на physics.stackexchange.com/q/1906 . Ответ объясняет, почему первый член обращается в нуль, а второй дает формулу Кубо. Вывод здесь применим для операторов тока, зависящих от положения, просто замените каждый $v_i$ оператор там вашим $j_i(\pm k)$ , алгебра все еще проходит.
@EverettYou Как именно эта замена - замена $j_i(\pm k)\to v_i$ --работа? Предполагается ли в документе TKNN, что текущий оператор не зависит от позиции?
Потому что текущий $j$ пропорциональна скорости $v$ электрона как $j=-ev$ , так что по сути это один и тот же оператор. В документе TKNN не предполагалось, что текущий оператор не зависит от позиции. Матричный элемент $\langle a|v(q)|b\rangle$ имеет смысл, если мы включим импульсную зависимость $v$ , т.е. $v(q)$ просто разбросает состояние $|b\rangle$ импульса $k$ в другое государство $|a\rangle$ импульса $k+q$ . Можно еще просуммировать по всей такой паре состояний, которая удовлетворяет $E_a<E_F<E_b$ и получим зависящую от импульса холловскую проводимость $\sigma_{xy}(q)$ .
@EverettYou Я, должно быть, что-то недопонимаю. Разве холловская проводимость не должна зависеть от импульса?
Комментарий слишком короткий для объяснения. Пожалуйста, посмотрите на мой ответ ниже.

Эверетт Ю · Answer 1

Формула Кубо применяется к случаю, зависящему от положения, и может использоваться для вычисления проводимости Холла, зависящей от импульса.

о_{Икс у} (д) "=" \frac{я е^{2}}{ℏ} \sum_{Е_{а} < Е_{Ф} < Е_{б}} \frac{⟨ а | в_{Икс} (д) | б ⟩ ⟨ б | в_{у} (- д) | а ⟩ - ⟨ а | в_{у} (- д) | б ⟩ ⟨ б | в_{Икс} (д) | а ⟩}{(Е_{а} - Е_{б})^{2}} .

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})= \frac{\mathrm{i}e^2}{\hbar} \sum_{E_a < E_F < E_b} \frac{\langle a|v_x(\boldsymbol{q})|b \rangle \langle b|v_y(-\boldsymbol{q})|a \rangle - \langle a|v_y(-\boldsymbol{q})|b \rangle \langle b|v_x(\boldsymbol{q})|a \rangle}{(E_a - E_b)^2}.$ Эта формула может быть получена из последней формулы (корреляция ток-ток в базисе многих тел) в вопросе

\begin{aligned} р_{Икс у} (д, ю) "=" \frac{1}{Z} \sum_{н, м} (е^{- β Е_{м}} - е^{- β Е_{н}}) ( & \frac{⟨ н | в_{Икс} (д, ю) | м ⟩ ⟨ м | в_{у} (- д, ю) | м ⟩}{Е_{н} - Е_{м} + я 0_{+}} \\ - ю \frac{⟨ н | в_{Икс} (д, ю) | м ⟩ ⟨ м | в_{у} (- д, ю) | м ⟩}{(Е_{н} - Е_{м} + я 0_{+})^{2}}), \end{aligned}

$\begin{split} R_{xy}(\boldsymbol{q},\omega)=\frac{1}{Z}\sum_{n,m}(e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n})\bigg(&\frac{\langle n|v_x(\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle\langle m|v_y(-\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle}{E_n-E_m+\mathrm{i}0_+}\\ &-\omega\frac{\langle n|v_x(\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle\langle m|v_y(-\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle}{(E_n-E_m+\mathrm{i}0_+)^2}\bigg), \end{split}$ заметив, что первый член обращается в нуль (как объясняется в формуле Кубо для квантового эффекта Холла ) и достигает предела

σ_{x y} (q) = lim_{ω \to 0} i R_{x y} (q, ω) / ω

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})=\lim_{\omega\to0}\mathrm{i}R_{xy}(\boldsymbol{q},\omega)/\omega$ на второй срок. Затем переключитесь на одночастичный базис (можно сделать для свободных фермионов) и возьмите предел нулевой температуры.

β \to \infty

$\beta\to\infty$ в конце концов.

Из холловской проводимости, зависящей от импульса, можно восстановить явную позиционную зависимость с помощью преобразования Фурье

о_{Икс у} (р - р^{'}) "=" \sum_{д} о_{Икс у} (д) е^{я д \cdot (р - р^{'})} .

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')=\sum_{\boldsymbol{q}}\sigma_{xy}(\boldsymbol{q}) e^{\mathrm{i}\boldsymbol{q}\cdot(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')}.$ Равномерная проводимость определяется как

σ_{x y} = \int d^{2} r^{'} σ_{x y} (r - r^{'})

$\sigma_{xy}=\int d^2\boldsymbol{r}' \sigma_{xy}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')$ который выделяет нулевую составляющую импульса

σ_{x y} (q = 0)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q}=0)$ . Статья TKNN в основном сосредоточена на однородной холловской проводимости и ее топологическом значении. Но обобщение формулы Кубо на неоднородный (неоднородный) случай осуществляется прямо, как описано выше. Однако для общего импульса

q \neq 0

$\boldsymbol{q}\neq0$ , проводимость Холла

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})$ больше не квантуется до целого числа и больше не связана с топологическим индексом (числом Черна) электронной зонной структуры, по этой причине

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})$ менее изучен. Но экспериментально

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})$ является определенной величиной, которая также может быть измерена.

В самом общем случае можно определить тензор проводимости, зависящий от импульса и частоты $\sigma_{ij}(q)$ (где $q=(\omega,\boldsymbol{q})$ — вектор импульс-частота) из электронной функции Грина $G(k)$ ,

\begin{aligned} о_{я Дж} (д) & "=" - я \sum_{к} Тр г (к) γ_{0} г (к) γ_{я} г (к + д) γ_{Дж}, \\ γ_{мю} & "=" - \partial_{к_{мю}} г^{- 1} (к) (мю "=" 0, 1, 2) . \end{aligned}

$\begin{split} \sigma_{ij}(q)&=-\mathrm{i}\sum_k \text{Tr} G(k)\gamma_0 G(k)\gamma_i G(k+q)\gamma_j,\\ \gamma_\mu&=-\partial_{k_\mu}G^{-1}(k)\quad(\mu=0,1,2).\end{split}$ Это называется неоднородной динамической проводимостью или оптической проводимостью. Вершинный оператор

γ_{μ}

$\gamma_\mu$ заменить оператор тока/скорости в квантовой теории поля (как обобщение гамма-матриц фермионов Дирака). См . Расчет проводимости по функциям Грина для получения этой общей формы.

Спасибо за понимание неравномерной проводимости. Можете ли вы порекомендовать какие-либо ресурсы, в которых обсуждается эта тема и отмечается различие между однородной и неоднородной проводимостью? Кажется, что многие выводы обходят это стороной, хотя это кажется нетривиальным фактом.
Просто введите в поиск «динамическая проводимость», вы можете увидеть много обсуждений всех видов проводимости, не связанных со статическим/однородным случаем.
Не могли бы вы пояснить, что именно вы имели в виду под «переходом на одночастичный базис»? Кроме того, как именно вы преобразуете ток (который я считаю оператором в полном фоковском пространстве) в оператор скорости (который, как мне кажется, является оператором в пространстве одной частицы)?

Вывод формулы Кубо для проводимости Холла

Медовая горчица

Эверетт Ю

Эверетт Ю

Медовая горчица

Эверетт Ю

Медовая горчица

Эверетт Ю

Ответы (1)

Эверетт Ю

Медовая горчица

Эверетт Ю

Блажей

Численное определение спектров краевых состояний

Простые модели, демонстрирующие топологические фазовые переходы

Проводимость Холла от Кубо: объемная или краевая?

Физический смысл топологического инварианта

Топологический инвариант для взаимодействующих систем с использованием одночастичных зеленых функций?

Вопросы о Berry Phase

Классы эквивалентности отображений из T2T2T^{2} в произвольное пространство XXX

Почему в квантовом эффекте Холла существуют киральные краевые состояния?

Как определить ориентацию массивного гамильтониана Дирака?

Полуметалл Вейля и скорость Ферми