Почему скалярное произведение двух четырехвекторов лоренц-инвариантно?

Честно говоря, вы смотрите на это задом наперед.

Почему$A^\mu g_{\mu\nu}B^{\nu}$Лоренц-инвариант?

Это неправильно:$A^\mu g_{\mu\nu}B^{\nu}$является лоренц-инвариантным, поскольку преобразования Лоренца определяются как класс преобразований, который оставляет$A^\mu g_{\mu\nu}B^{\nu}$инвариант.

Как правило, если преобразовать$A^\mu$и$B^\mu$некоторым линейным преобразованием с матрицей преобразования$\Lambda^\mu_{\ \ \nu}$, то их преобразованные значения будут$\tilde A^\mu = \Lambda^\mu_{\ \ \nu}A^\nu$и$\tilde B^\mu = \Lambda^\mu_{\ \ \nu} B^\nu$(с использованием суммирования Эйнштейна). Это означает, что преобразованный внутренний продукт будет

$$\begin{align} \tilde A^\mu g_{\mu\nu} \tilde B^{\nu} & = (\Lambda^\mu_{\ \ \alpha}A^\alpha) g_{\mu\nu} (\Lambda^\nu_{\ \ \beta}B^\beta) \\ & = A^\alpha (\Lambda^\mu_{\ \ \alpha} g_{\mu\nu} \Lambda^\nu_{\ \ \beta} )B^\beta \\ & = A^\mu (\Lambda^\gamma_{\ \ \mu} g_{\gamma\delta} \Lambda^\delta_{\ \ \nu} )B^\nu \qquad\qquad\text{(by re-labelling)} \\ & \stackrel{\text{required}}= A^\mu g_{\mu\nu} B^\nu. \end{align}$$ Таким образом, для$A^\mu g_{\mu\nu} B^\nu$для инвариантности потребуем , чтобы $$A^\mu (\Lambda^\gamma_{\ \ \mu} g_{\gamma\delta} \Lambda^\delta_{\ \ \nu} )B^\nu = A^\mu g_{\mu\nu} B^\nu$$ для всех$A^\mu$и$B^\mu$, и благодаря разумному выбору этих векторов (по существу, запуская каждый из них независимо от используемого базиса), это может быть только в том случае, если $$\Lambda^\gamma_{\ \ \mu} g_{\gamma\delta} \Lambda^\delta_{\ \ \nu} = g_{\mu\nu},$$ которое формирует основное требование к$\Lambda^\mu_{\ \ \nu}$чтобы это было преобразованием Лоренца.

Вот как можно подумать об этом — почему стандартное евклидово скалярное произведение,$\sum x_iy_i$интересный? Что ж, это интересно в первую очередь с точки зрения поворотов, потому что повороты оставляют скалярные произведения неизменными. Причина этого в том, что это скалярное произведение может быть записано как$|x||y|\cos\Delta\theta$, а повороты оставляют величины и относительные углы неизменными.

Является стандартной евклидовой нормой$|x|$инвариантный относительно преобразований Лоренца? Конечно нет, например,$\Delta t^2+\Delta x^2$явно не инвариантно, но$\Delta t^2-\Delta x^2$является. Сходным образом,$E^2+p^2$не важно, а$E^2-p^2$является. Причина, по которой это так, заключается в том, что бустинг Лоренца по своей сути является косым преобразованием, что означает, что инвариантное геометрическое место является гиперболой, а не окружностью. Так что у тебя есть$\cosh^2 \xi - \sinh^2 \xi = 1$, и$x_0^2-x_1^2$это правильный способ думать о норме в пространстве Минковского.

Точно так же бусты Лоренца изменяют скорость$\xi$простым перемещением, поэтому$\Delta \xi$является инвариантным. С этого момента это простое упражнение, чтобы показать, что

$$|x||y|\cosh\xi=x_0y_0-x_1y_1$$

(что касается остальных измерений — помните, что стандартное евклидово скалярное произведение по-прежнему актуально в пространстве , поэтому вам просто нужно написать$x_0y_0-x\cdot y=x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3$.)

Вектор$\mathbf{v} = v^i \, \mathbf{e}_i = q^j \,\mathbf{u}_j$имеет разные компоненты вектора ($v^i$,$q^j$в данном случае) в разных базах ($\{\mathbf{e}\}$,$\{\mathbf{u}\}$, в нашем примере), которые мы можем интерпретировать как разные системы отсчета (разные оси с разным началом).

Физики ленивы: они ссылаются на компоненты вектора$v^i$как векторы, что является неправильным употреблением! Истинный вектор$\mathbf{v}$существует вне ширины, какой бы базис вы ни выбрали для работы, но чтобы узнать его элементы, вы должны ссылаться на них по отношению к данному базису: это просто элементарная линейная алгебра.

Теперь величина вектора не зависит от того, какое основание вы выберете для его описания (то есть, говоря геометрически, его длина фиксирована):

$$v^2 = v^i \; v_i \, (\mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}_i) = q^{j} \, q_j\,(\mathbf{u}_j\cdot \mathbf{u}^j) . \tag{assuming orthonormal bases}$$

Следовательно, скаляры не преобразовываются при изменении базиса. На самом деле нет особого смысла говорить о базисе скаляров, поскольку интуитивно это просто числа.

Однако еще один способ взглянуть на это - рассмотреть скаляр как особый тип вектора только с одним элементом и одним ортонормированным базисом (числом 1): его «длина» также должна быть фиксированной. Следовательно, этот одномерный «вектор» так же независим от системы отсчета.

Это справедливо для всех векторов, включая специальные релятивистские четырехвекторы.

В качестве проверки здравомыслия один из принципов специальной теории относительности заключается в том, что$c$, скорость света и скаляр, одинакова для всех наблюдателей. Такого быть не могло, если бы в разных кадрах было как-то по-разному.