Предположим, у вас есть частицы, каждая из которых может занимать любое из состояния. В общем можно написать частица гильбертово пространство как продукт гильбертовы пространства частиц :
Это означает, что пространство частиц будет иметь .
Теперь смотрим на обычные подпространства: для фермионов и для бозонов. Для их размеров имеем
Что происходит с «недостающими» размерами? Можно ли что-то сказать о разложении как следствие постулата симметризации?
Постулат симметризации действительно говорит о том, что в природе реализуются либо полностью симметричные, либо полностью антисимметричные состояния, в зависимости от того, является ли спин целым или нецелым (и при условии, что все частицы одинаковы, иначе симметризация должна производиться только по каждой группе одинаковых частицы). Таким образом, используемая часть либо или (без суперпозиций, как в вашей прямой сумме). Несимметризованные состояния просто не годятся для реалистичных систем, хотя их много. .
Однако с чисто математической точки зрения можно разложить в прямую сумму подпространств, каждое из которых несет неприводимое представление симметрической группы частицы. Два из этих подпространств имеют физический смысл — именно те, где представление одномерно. Остальные подпространства соответствовали бы гипотетическим «парафермионным» частицам, не встречающимся в природе.