Почему обмен координатами дает фазу ±1±1\pm 1 в идентичной волновой функции частицы?

Рассмотрим систему из двух одинаковых частиц, описываемую волновой функцией ψ ( Икс 1 , Икс 2 ) . Можно определить два типа операторов обмена:

  • Физический обмен п , то есть поменять местами частицы, физически перемещая их.
  • Формальный обмен координатами Ф , где Ф ψ ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" ψ ( Икс 2 , Икс 1 ) .

С Ф 2 "=" 1 , собственные значения Ф являются ± 1 . В некоторых книгах ошибочно говорится, что это доказывает, что могут существовать только бозоны или фермионы. Это неправильно, потому что аргумент работает и в 2D, где существуют любые.

Реальный аргумент состоит в том, чтобы рассмотреть собственные значения п , которые ± 1 только в трех измерениях из-за топологии. В трехмерном случае волновые функции с п собственное значение + 1 описывают бозоны, а те, у кого п собственное значение − 1 описать фермионы.

Однако все трактовки бозонов и фермионов говорят, что бозоны Ф собственное значение + 1 , а фермионы имеют Ф собственное значение − 1 . Например, вы увидите уравнение

ψ ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" − ψ ( Икс 2 , Икс 1 )
для фермионов. Я не уверен, откуда это взялось; я принимаю п собственное значение − 1 , но насколько я могу судить Ф и п совершенно различны. В частности, их собственные значения должны различаться в двух измерениях.

Для идентичных частиц в 3D, почему Ф и п собственные значения одинаковы?

Вы когда-нибудь приходили к ясности в этом вопросе?
@ Крейг Да, подумав, я понял, что ответ, который я получил ниже, абсолютно правильный - и что, к сожалению, почти все учебники неверны.
@Craig Для правильной учетной записи вы можете увидеть, например, главу 3 этого черновика .
Спасибо огромное!
@knzhou, ты резко осуждаешь большинство учебников; технически аргумент Ф 2 "=" 1 таким образом, собственные значения ± 1 правильно, даже в 2d. Проблема возникает, когда одна частица движется вокруг другой, что эквивалентно Ф 2 - в пробитой плоскости. Вы правы, учебники не точны и часто упускают это из виду, но это не делает аргумент неверным: просто неверным в некоторых случаях проколотой 2d-плоскости. Ссылка, которую вы разместили, выглядит довольно красиво, и я очень хочу ее скачать и прочитать.

Ответы (1)

То, что поведение при реальном физическом переключении эквивалентно поведению при формальном обмене, как раз и является содержанием теоремы о спиновой статистике . Спин (поведение при физических вращениях, в частности представление « 2 π вращения» на пространстве состояний) определяет статистику (поведение при формальном обмене или, что то же самое, (анти-) коммутационное поведение операторов рождения).

Это фундаментально релятивистский результат квантовой теории поля. В нерелятивистской квантовой механике нет никаких оснований связывать бозонное/фермионное поведение с поведением при физическом обмене. Фермионы со спином 0 и бозоны со спином 1/2 не противоречат друг другу в нерелятивистских условиях КМ.

Я не совсем убежден, потому что теорема о спиновой статистике, по-видимому, работает и в 2D, где Ф и п собственные значения не совпадают. Как это работает?
@knzhou: Что вы имеете в виду под «кажется, что это работает в 2D»? Это терпит неудачу, есть anyons. И причина его неудачи не в том, что кто-то нерелятивист (что также было бы разрешенной отговоркой), а в том, что более глубокая причина в том, что С О ( 2 ) не имеет обычного двойного покрытия в качестве универсального покрытия, как все многомерные группы вращения, но вместо этого имеет р как его Z -кратное покрытие, допускающее различные (любые) проективные представления. Если вы исследуете, например, вывод Вайнберга, он опирается на наличие четной/нечетной метки спина. Дж , которого не существует таким образом в 2D.
Я был бы невероятно признателен, если бы вы сделали вопросы и ответы по этой теме (на уровне этого последнего комментария) или если бы вы могли порекомендовать книги, которые относятся к этой теме с должным вниманием.
@Craig Я пытался что-то написать, но понял, что на самом деле не знаю, о чем ты хочешь знать. Может, вы сами зададите вопрос? ;)
Почему обмен координатами дает фазу ±1±1\pm 1 в идентичной волновой функции частицы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v