Что такое «математическая логика»? Является ли это логикой математических рассуждений или утверждением, что математика и логика тождественны?
Кроме того, является ли «количественная логика» особым типом «математической логики»?
(ср. « Каково философское основание для различения логики и математики? »)
Современный термин принадлежит Джорджу Булю с его буклетом 1847 года:
направленный на применение математических инструментов и методов к изучению логики.
Недавний исторический обзор см.:
В том же буклете Буль также установил связь с языком :
[ стр. 5 ] Таким образом, теория логики тесно связана с теорией языка.
Эта связь была «уже здесь» с самого начала: см. «Категории» Аристотеля и исчисление Лейбница и «характеристику языка» .
Связь с языком поддерживает основное различие между исчислением высказываний , где уровень «анализа» логической структуры языка очень грубый, с учетом только сентенциальных связок , и теорией квантификации , где мы имеем более «мелкозернистый» (но еще очень далек от описания «реальной жизни» функционирования естественного языка) уровня детализации, основанного на количественной оценке .
Современная кодификация логических языков имеет много «отцов», но официальное рождение — Begriffsschrift Готлоба Фреге (1879 г.).
Современная математическая логика является «математической» и в другом смысле: некоторые ее разделы являются просто математическими дисциплинами, как, например, теория вычислимости и конструктивная математика , или они
«логика математических рассуждений»,
как теория моделей и теория доказательств .
Редактировать
Похоже, что название «математическая логика» было впервые использовано Августом Де Морганом в «О силлогизме № III» (1858 г.), перепечатанном в:
@Mauro ALLEGRANZA опередил меня с отличным ответом, но, поскольку я уже набросал это, вот еще один вариант:
Ответ «ни один».
Это определенно не утверждение, что математика и логика — одно и то же. В большинстве случаев основной задачей логики является понятие логических следствий и/или достоверных выводов. Вы обычно найдете слова на этот счет в начале вводных текстов. Гораздо труднее сказать, что является главной задачей математики. Исторически предлагались такие понятия, как количество, величина, число и т. д., но математика охватывает так много концептуальных основ, что трудно выделить что-то общее для всех, но не тривиальное. Логическое следствие, напротив, не только нетривиально, оно остается несколько загадочным. Сравните понятие вычислимости, которое оставалось загадочным до тех пор, пока не появился Тьюринг и не предложил модель, которая повсеместно считается удовлетворительной как формально, так и интуитивно. Это еще никому не удавалось сделать для неформала,
Заметьте, что нет оснований prima facie полагать, что наше интуитивное представление о логическом следствии имеет какое-либо отношение к математике.
Как насчет «логики математических рассуждений»? Математическое рассуждение по определению — это то, что делают математики, когда они «делают» математику, и это неформально. Сейчас можно публиковать формальные доказательства математических результатов, но почти никто этого не делает, и некоторые считают это плохой идеей. Математическая аргументация может быть очень дисциплинированной, но не формальной. Однако математическая логика формальна. Вы можете возразить, что МО — это попытка формально выразить неформальные рассуждения работающих математиков, но это нечто совершенно иное, чем предложение «логики математики». Последнее предполагает (по крайней мере, мне) попытку дать объяснение(в некоторой формальной системе, которая сама является математическим объектом) того, как работает неформальное математическое рассуждение, которое на самом деле является философским проектом. ML ничего не объясняет, это просто технология.
Это также зависит от того, что вы подразумеваете под «математикой». Классический или интуитивистский? В большинстве текстов по МО, с которыми я сталкивался, неявно предполагается, что классическая математика (которая опирается на семантику с условием истинности) является единственной игрой в городе, что не так.
Лично я считаю математическую логику математизированной логикой: обращение с логическими формами как с математическими объектами, не утверждая, что логика сводится к математике. Так что это скорее методологическая концепция.
Юзеф Мария Бохенски, OP's 1959 A Precis of Mathematical Logic, определяет «математическую логику» таким образом на с. 1:
0,2. Логика и математика . Математическая логика называется «математической» по своему происхождению, так как она была разработана именно с целью изучения основ этой науки. Кроме того, между его формулами и формулами математики есть некоторое внешнее сходство. Некоторые логики также утверждают, что математика является лишь частью логики, хотя это мнение далеко не получает всеобщего одобрения. Однако математическая логика рассматривает не числа и количества как таковые, а какие бы то ни было объекты.
пользователь5172
пользователь5172
Геремия