Что происходит с членом взаимодействия, когда электромагнитный лагранжиан преобразуется в гамильтониан?

В «Лекциях Дирака по квантовой механике» он записывает гамильтониан для свободного электромагнитного поля:

$$\begin{equation} H = \int \frac{1}{4} F^{rs} F_{rs} + \frac{1}{2} \pi^r \pi^r - A_0 \pi^r{}_{,r} \, \mathrm{d}^3 x \end{equation}$$

(Обратите внимание, что Дирак использует$B$для обозначения сопряженного импульса, поэтому я заменил его на$\pi$, что менее запутанно.)

Если вычислить первые два члена, можно восстановить известное выражение для плотности энергии поля, а именно$\frac{1}{2}(E^2 + B^2)$. В конечном итоге будет видно, что третий член исчезнет, ​​как только закон Гаусса будет восстановлен.

Мой вопрос: если мы начали с полного лагранжиана, который включает член взаимодействия$-\frac{1}{c} J^\mu A_\mu$, то что же происходит с этим членом при выполнении преобразования Лежандра? Насколько я могу судить, этот член просто попадает в результат с измененным знаком, т.е.

$$\begin{equation} H = H_m + \int \frac{1}{4} F^{rs} F_{rs} + \frac{1}{2} \pi^r \pi^r + \frac{1}{c} J^\mu A_\mu - A_0 \pi^r{}_{,r} \, \mathrm{d}^3 x \end{equation}$$

где$H_m$обозначает гамильтониан только для частиц материи. Теперь кажется, что это дает неверное значение плотности энергии; последний срок отменит$\rho \varphi$срок в$\frac{1}{c} J^\mu A_\mu$, но$-\frac{1}{c} \mathbf{A} \cdot\mathbf{J}$часть останется неотмененной. Это означает, что плотность гамильтониана будет отличаться на$-\frac{1}{c} \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}$от плотности энергии

$$\begin{equation} u = u_m + \frac{1}{2}(E^2 + B^2) \end{equation}$$

Итак, какая часть этого анализа неверна?

(Извините, если я ошибся в единицах измерения, я не владею единицами cgs.)