Как доказать, что величина, входящая в показатель интеграла по путям, является лагранжианом?

В «Краткой квантовой теории поля» Зи показано, что если$H = \frac{\hat{p}^2}{2m}$, затем

$$\begin{equation} \langle q_F | e^{-iHt} | q_I \rangle = \int e^{i\int \frac{1}{2}m\dot{q}^2 \, dt} Dq \end{equation}$$

и есть замечание, что если$H = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(q)$затем

$$\begin{equation} \langle q_F | e^{-iHt} | q_I \rangle = \int e^{i\int \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q) \, dt} Dq \end{equation}$$

Это можно легко доказать, как только мы поймем, что нам разрешено аппроксимировать$e^{(A + B)\delta t}$как$e^{A \delta t} e^{B \delta t}$в пределе, где$\delta t \to 0$.

и Зи заключает, что величина, фигурирующая в интеграле в показателе степени, является просто лагранжианом.

Мне трудно понять, как вывести это для более сложных гамильтонианов (или вообще). Например, давайте обобщим до 3 измерений и возьмем

$$\begin{equation} H = \frac{1}{2m} (\hat{\mathbf{p}} - e\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}))^2 + e \varphi(\hat{\mathbf{x}}) \end{equation}$$

Если мы будем следовать выводу Зи, мы должны выяснить, как оценить амплитуду распространения от$\mathbf{x}_j$к$\mathbf{x}_{j+1}$во время$\delta t$,

$$\begin{equation} \left\langle \mathbf{x}_{j+1} \left| \ \exp\left(-i \, \delta t \, \left[\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}^2 - e\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}) \cdot \hat{\mathbf{p}} - e\hat{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}) + e^2 \hat{\mathbf{A}}^2(\hat{\mathbf{x}})) + e \varphi(\hat{\mathbf{x}})\right]\right) \ \right| \mathbf{x}_j \right\rangle = \, ? \end{equation}$$

Теперь я застрял. Мы снова можем рассматривать члены, входящие в экспоненту, по отдельности, но я понятия не имею, как оценивать что-то вида$\langle \mathbf{x}_{j+1} | \exp(ik \hat{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}})) | \mathbf{x}_j\rangle$.

Я знаю, что обычно умножение оператора импульса на константу, а затем взятие экспоненты дает оператор перевода, но я не думаю, что это допустимо здесь, потому что вместо константы мы имеем$A(\hat{x})$, оператор, который не коммутирует с$\hat{p}$. Тем не менее оказывается, что если мы делаем вид, что это работает, то в итоге получаем правильный ответ. Но это должно быть удача... верно?

В более общем смысле трудно понять, как вычисление этих амплитуд может вообще выполнять преобразование Лежандра на гамильтониане. Почему эта процедура должна быть в состоянии извлечь необходимую производную от$H$в отношении$p$?