Что произойдет, если аспирант по математике не сможет найти доказательство, которое является основной целью темы его диссертации?

Я сам написал провальную диссертацию. Никаких документов из этого не вышло. К счастью, у меня был значительный побочный проект, который был опубликован, и спустя 11 лет основная нить моего исследования все еще идет от этого побочного проекта. (Я полагаю, что вместо этого я мог бы написать побочный проект как свою диссертацию, но я этого не сделал.)

Во-первых, ни один проект не является полным провалом. По крайней мере, вам удается доказать некоторые (возможно, почти тривиальные) частные случаи, вы доказываете некоторые полезные леммы, обнаруживаете, что некоторые леммы, которые, как вы, возможно, надеялись, будут полезными, имеют контрпримеры, и вы находите определенные методы, которые вы могли бы использовать, не не применимо, потому что некоторые гипотезы, необходимые для использования этих методов, не удовлетворяются в вашем случае. Можно написать все эти вещи, и в итоге получится диссертация, которая в основном о том, «Как не решать проблему X (за исключением этого очень маленького особого случая)». (В основном это моя диссертация.)

Во-вторых, аспиранты-математики редко, особенно на ведущих программах, работают только над одной задачей. Ваш консультант может предложить вам основную проблему для работы, но вы ходите на семинары и слышите о других проблемах, разговариваете с другими аспирантами или докторантами и узнаете о других проблемах и т. по крайней мере немного времени, думая об этих других проблемах. Если вы застряли на своей основной проблеме, у вас все еще есть другие проблемы, которые нужно решить, и довольно часто то, чему вы научились работать над своей основной проблемой, в конечном итоге помогает вам в решении этих других проблем. (Это в основном то, что произошло со мной, за исключением того, что другая проблема не попала в мою диссертацию.)

В-третьих, особенно на ранних стадиях работы над проблемой, консультанты обычно довольно быстро дергают за крючок, если кажется, что прогресса нет. Большинство консультантов знают о множестве проблем, и они знают, как выглядит полное отсутствие прогресса из-за того, что проблема слишком сложна. Даже позже консультанты иногда могут предложить более простые задачи, которые можно решить в более короткие сроки (с учетом того, что студент уже изучил). В некоторых случаях, после нескольких циклов неудачных задач, студент заканчивает работу с диссертацией, которая не уступает по значимости полуприличному исследовательскому проекту бакалавриата (и приводит к нулю статей или одной статье в журнале «только для записи»).

Это правда, что диссертация, написанная на основе неудачного или почти тривиального проекта, как правило, не сулит ничего хорошего при приеме на работу, где важны исследования (если только нет более существенного побочного проекта). Иногда влиятельный или убедительный консультант может привести в рекомендательных письмах достаточно веские доводы для студента, чтобы он получил постдока, но сейчас это сложнее, чем 10 лет назад, учитывая, насколько более конкурентоспособен рынок труда.

Хороший консультант уведет учащихся от проблем типа «все или ничего», таких проблем, где полная неудача вполне реальна. Например, один стереотипный случай — это элементарная попытка решить известный вопрос теории чисел, где наиболее вероятным результатом является конкретное понимание того, почему этот конкретный подход просто не может работать, и никто другой не будет ужасно заинтересован, поскольку никогда не думал у него был шанс в первую очередь.

Хорошая дипломная работа должна обладать несколькими свойствами:

1. Это должно быть интересно и привлекать внимание, если оно решено. Это легко достижимое свойство.

2. Она должна находиться в достаточно богатой и разнообразной области, чтобы любая серьезная попытка ее решения открыла что-то стоящее само по себе, даже если она не приведет к решению исходной проблемы.

3. Это должно помочь студенту накопить знания и подготовиться к ответвлению в нескольких новых направлениях. (То есть, вы не должны достигать состояния, когда вам больше нечего делать, и продолжающаяся работа должна естественным образом расширяться, а не сужаться.)

В частности, № 1 далеко не достаточно самого по себе. Если у вас также есть № 2, то на самом деле не имеет значения, решена ли исходная проблема, в то время как № 3 важен для подготовки студента к успеху после окончания аспирантуры.

Таким образом, оптимистичный ответ на ваш вопрос заключается в том, что консультант должен позаботиться о том, чтобы это не превратилось в проблему, направляя студента к проблеме, неспособность решить которую не является катастрофой. Конечно, есть и пессимистический сценарий, в котором консультант облажался или студент не послушался совета, а задача действительно не подходит для диссертации. В этом случае вам придется продираться изо всех сил, возможно, написав неоптимальную диссертацию, а затем попытавшись компенсировать ее другой работой. К счастью, этот сценарий встречается не так часто. (И худший случай — это когда студент просто ничего не делает, а такое может случиться в любой области.)

Есть ряд успешных результатов, которые не требуют поиска желаемого доказательства. Вот некоторые примеры:

1. Очень часто хороший математический вопрос хорош не только потому, что на него может быть полезен ответ, но и потому, что полезны методы, которые могут привести к ответу. Если вы разработаете новые математические инструменты, они сами по себе могут стать достойным тезисом, даже если они не являются доказательством.
2. Вы можете получить какой-то промежуточный результат, который открывает новую возможность для доказательства большего результата. Действительно, многие тезисы нацелены на это только в том случае, если более крупный результат является чем-то огромным, как гипотеза Римана, гипотеза BSD и т. д.
3. В поисках доказательства X вы можете обнаружить родственный вопрос Y и найти доказательство, разрешающее Y. Y может быть более интересным, чем X, или просто более доступным. Это обсуждается в известной короткой статье Ури Алона о выборе задачи ; Я рекомендую эту бумагу всем, кто задает этот вопрос.

Хороший консультант поможет вам найти тему диссертации, которая имеет несколько путей и этапов потенциального прогресса, так что это не будет предприятием по принципу «все или ничего».

Мой профессор статистики в прошлом семестре сказала, что ее огорчает тот факт, что журналы больше не публиковали неудавшиеся исследования/теории. Несостоявшаяся теория просто показывает, что у вас была теория, но вы доказали ее ошибочность! Это невероятное количество информации, и если вы объедините ее с несколькими другими исследованиями, которые показывают то же самое, у вас будет все больше доказательств того, что теория ошибочна. Например, если мы публикуем только успешные теории/исследования, мы в некотором смысле искажаем наши результаты, потому что, возможно, было 50 исследований, которые показали, что нет доказательств истинности теории, но если было одно единственное исследование, кто едва преодолели порог подтверждения истинности теории, которую можно было бы опубликовать, и теперь бум, единственная опубликованная информация об указанной теории - это та, которая «доказывает ее истинность». Я также не специализируюсь на математике, но я подумал, что это достаточно интересная тема, чтобы поделиться с вами. Результат неубедительного эксперимента по-прежнему содержит очень большое количество данных, которые могут быть очень важны для кого-то еще спустя годы.

Справедливо ли предположить, что работа связана с попыткой что-то доказать? Что произойдет, если вы не сможете?

Нет. Не все тезисы касаются «доказательства вещей», по крайней мере, не в узком смысле. Тезис может быть очень вычислительным, может касаться формулирования предположений или поиска примеров/контрпримеров некоторых явлений. Многие диссертации (и статьи), даже если они доказывают теорему, сводятся к пониманию какой-то теории и выполнению каких-то (не обязательно численных) расчетов.

Как говорит Александр Ву, даже если вы не можете доказать то, к чему стремились, обычно вы можете найти что-то новое (иногда просто новую точку зрения), если вы достаточно компетентны и потратите на это достаточно времени. На самом деле даже среди профессиональных исследователей чаще всего случается, что вы не доказываете то, к чему стремились. Я не доказал то, что пытался сделать для своей диссертации, но получил некоторые результаты и пару статей. Несколько лет — достаточный срок для большинства людей, чтобы получить хоть что-то.

Но если у вас есть X лет, чтобы что-то доказать, скажем, для докторской степени, а вы не можете, что происходит? Вы просто не получили докторскую степень?

Как я уже сказал, велик шанс, что вы, по крайней мере, получите что-то новое, или вы можете перейти на другой проект, когда он кажется безнадежным. Ваш консультант, надеюсь, поможет вам и не даст вам слишком долго идти в тупик. Я стараюсь делать проекты для своих студентов в областях, где есть много проблем, поэтому, если их проект не сработает, им не нужно много учиться, чтобы попробовать другую проблему. Когда ваш научный руководитель считает, что у вас достаточно знаний для докторской степени, вы можете представить диссертацию, но, конечно же, вы не получите докторскую степень только за то, что работали над чем-то X лет.

У меня нет достоверных данных по этому поводу, но мой опыт показывает, что большинство аспирантов, прошедших первые пару лет обучения (скажем, в хороших школах США), получают степень доктора философии. Там, где я учился, почти все, кто начинал, получали докторскую степень, и почти все те, кто не ушел в течение или после первого года, потому что понял, что докторская степень не для них. В менее престижных школах показатели успеха не столь высоки, но я все же думаю, что большинство людей, не получивших докторскую степень, уходят, не потратив достаточно времени на исследования.

Один случай:

Я имел в виду интересную задачу. Я придумал самый простой случай и дал его студенту для работы. После этого я подумал, что мы могли бы попробовать более общие случаи, постепенно переходя ко всему. Что ж, оказалось, что первоначальный частный случай студенту потребовалось два года, чтобы закончить, так что это была диссертация. (Насколько мне известно, более общая задача до сих пор не решена.)

Вы не всегда пытаетесь доказать существующую теорему. По моему опыту, центральная теорема (теоремы) тезиса изначально неизвестна. Вы решаете грубую задачу и пытаетесь найти какие-то новые результаты — в моем конкретном случае речь шла об анализе ситуации, когда частичные результаты существовали, но не было найдено разумных оценок для некоторых констант. Моим центральным результатом стала теорема, описывающая ситуации, в которых можно найти оптимальные константы, а также способы их вычисления.

Сначала у меня была та же проблема с «нет результатов» - в конце концов мне пришлось выбрать новую тему через 2 года. Тем не менее, на этом пути все же были некоторые результаты. Даже если основное доказательство не сработает, маловероятно, что вы не получите даже частичных результатов или не откроете что-то новое по пути.

Я все же смог заполнить около 30 страниц своей диссертации результатами, полученными по первой теме. Одного этого было бы недостаточно для докторской степени, но и ничего. Помогло то, что темы были похожи, и можно было провести несколько параллелей.