Что такое бессмысленные символы?

То, что сказал ваш профессор, является распространенным подходом к попытке избежать математической ловушки, которая возникает в умах многих студентов. В таких уравнениях фактический символ «x» не имеет значения. Это может быть буква «y», или «z», или изображение орангутанга. Я предпочитаю слово «произвольный» слову «бессмысленный».

Для того, кто «понимает», утверждение вроде «Х — бессмысленный символ» кажется странным. Однако учащимся очень легко начать придавать значение буквам. Затем у них возникают проблемы с решением того же уравнения, когда они видят, что «х» заменено на «у». Ваш профессор просто пытается остановить их на перевале. ( Я репетитор по математике время от времени. Мне всегда больно, когда я говорю ученику «найди х», а он просто не может. Тогда я пишу точно такое же уравнение, меняя «х» на «у», и говорю им « найдите y», и теперь они могут это сделать, потому что фигуры, нарисованные моим карандашом, теперь являются фигурами, которые они ожидают увидеть )

Позже это утверждение будет смягчено. Как только все это поймут, вы сможете начать понимать, что переменные часто имеют общепринятое значение. Если вы видите, что кто-то занимается вычислениями с прямоугольным треугольником, «с» — это гипотенуза. Если они занимаются физикой, "с" - это скорость света. Однако, если бы ваш профессор не предупредил студентов, что на самом деле выбор символа является произвольным, они могли бы быть действительно обеспокоены попыткой провести физику на прямоугольном треугольнике и подставить скорости света на место, потому что они видели тот же символ. , "c", в обеих средах.

Мне не особенно нравится использование вашим профессором слова «бессмысленно». X в вашей формуле принято называть переменными. Точка зрения Куайна заключалась в том, что переменные в математике адекватно фиксируются тем, как мы их используем в логике, то есть как своего рода абстрактный заполнитель, подобный местоимению в естественном языке. Переменные явно или неявно квантифицируются, и квантификатор может быть экзистенциальным, означающим, что выражение верно для некоторого конкретного значения, или универсальным, означающим, что выражение верно для всех значений.

Ваши крестики не более бессмысленны, чем местоимение «кто» в следующих предложениях:

There is someone who is ahead of me in the queue.(Экзистенциально квантифицированное утверждение, которое может быть «решено» для конкретного значения «кто».)

He who hesitates is lost.(Универсальное количественное утверждение, справедливое для всех «кто».)

Изложение Куайна можно найти в двух статьях: «Объяснение переменных» в Proceedings of the American Philosophical Society, Vol. 104, № 3 (15 июня 1960 г.), стр. 343–347; и «Переменная» в Ways of Paradox and Other Essays.

С философской точки зрения профессор явно был каузальным - очевидно, не существует такого понятия, как "бессмысленный символ", как " символ" по определению "вещь, которая представляет или обозначает что-то другое, особенно материальный объект, представляющий что-то абстрактное". Здесь x — это символ, обозначающий что-то, тогда возникает вопрос, что он обозначает?

В этом абстрактном контексте x называется неопределенным , не имеющим конкретного значения (в отличие от x, являющегося переменной , то есть неизвестной величиной, которую необходимо решить).

Он, вероятно, имел в виду, что х, будучи неопределенной величиной, не имеет определенного значения, но дело в том, что это многочлен от одной переменной. Этот многочлен может быть так же легко выражен (как это часто бывает) через t , но он отличается от многочлена от двух переменных.

Чтобы ответить на вопрос о том, существует ли вещь, на которую указывает x, — очевидно, что она существует, но трудно сказать, что это за вещь, кроме использования кругового определения как вещи, которая позволяет нам говорить об абстрактных многочленах.

Я думаю, что имеется в виду, что x - это не переменная, а скорее чистый синтаксис. Это похоже на то, как математики определяют комплексные числа как упорядоченные пары (x, y) действительных чисел, а затем записывают их как x + yi, где «+» и «i» чисто синтаксические. (Позднее обозначение смягчено, чтобы разрешить, скажем, i вместо 0 + 1i, что подтверждается теоремами, показывающими, что если символы определены правильно, синтаксический «+» дает тот же результат, что и операция +.)

В данном случае это означает, что x^2 - 3 - это просто набор коэффициентов (-3, 0, 1), и разные такие наборы можно складывать и умножать по разным правилам.

Общая идея, я думаю, состоит в том, чтобы перейти от многочленов как функций («дайте мне x, и я дам вам число») к многочленам как объектам. Но это можно сделать конкретным. Предположим, вы ищете многочлены над группой Z/2Z, в которой ровно два числа: 0 («четное») и 1 («нечетное»), причем 0 + 0 = 1, 0 + 1 = 1 = 1 + 0. , и 1 + 1 = 0. Теперь обратите внимание, что какое бы значение вы ни выбрали для x, x^2 + x + 1 равно 1. Но как многочлены над неопределенным («бессмысленным символом») x, 1 и x^2 + x + 1 различны (поскольку списки (1) и (1, 1, 1) различны).

Когда профессор говорит, что x — это «бессмысленный символ», что именно имеется в виду?

Это просто означает, что вы можете думать о многочлене "a + bx + cx^2 + ... + dx^n" как об упорядоченном кортеже (a,b,c,...,d), а "x" а «+» и обозначение возведения в степень не являются частью многочлена, а просто служат для того, чтобы дать наводящее на размышления понятие. Тогда коэффициенты многочлена равны просто {a,b,c,...,d}, и вы можете легко определить сложение и умножение многочленов с коэффициентами из одного и того же кольца. По этому определению сам полином даже не включает в себя, какой символ используется в качестве неопределенного, хотя мы используем «x» при описании полинома. Например, у нас есть произведение (1,1) и (1,-1) равно (1,0,-1). Обычно это описывается так: (1+x) * (1-x) = 1-x^2.

Но это не единственное используемое определение многочленов. В алгебре принято говорить о многочленах так, как будто они представляют собой записанные строки символов, включая «степени» «x» и «+». Есть некоторые тонкие ошибки в рассуждениях, которые могут закрасться, когда кто-то использует такие «интуитивные» понятия многочленов. И неудивительно, что будет трудно должным образом формализовать это понятие, не возвращаясь к более раннему определению. Например, мы можем «представить», что «1 + xy + x^2 + y^3» является многочленом как от «x», так и от «y», но является ли он многочленом только от «x» или только от «y» ?

Обратите внимание, что формальное определение одномерного многочлена как кортежа можно распространить на многомерные многочлены, определив степенной ряд с k-й переменной над R как функцию от N ^k до R, а затем определив полином с k-й переменной над R как степенной ряд с k-переменной, который равен нулю, за исключением конечного числа входных индексных кортежей. Обратите внимание, что двумерный многочлен над R можно рассматривать как одномерный многочлен над одномерными многочленами над R точно так же, как функции можно каррировать .

Означает ли это, что символ x не имеет «метаязыковой» интерпретации?

Таким образом, ответ вашего профессора на самом деле недостаточно точен, чтобы определить, использует ли он чисто строгое определение. Существует третье возможное определение, где многочлен — это функция вида (x ↦ a + b * x + c * x^2 + ... + d * x^n), где "+" и "*" может быть перегружен, а «x^k» — это всего лишь краткая форма k-кратного произведения «x». Такая функция будет неопределенной или завершится сбоем, если на вход будет введено значение x, для которого не определены какие-либо операции умножения или сложения. В этом смысле «x» на самом деле не бессмысленно, а на самом деле является именем параметра. Конечно, можно использовать другое имя параметра (при условии, что оно не используется где-либо еще) без изменения значения. Недостаток этого подхода в том, что его очень сложно формализовать при всей перегруженности,

На самом деле не так уж сложно использовать формальное определение, чтобы зафиксировать это понятие, через карту оценки одномерных многочленов над R (где R — кольцо), которая отображает каждый такой многочлен p и объект x в R в значение ( a + b * x + c * x^2 + ... + d * x^n ). Аналогично для многомерных многочленов. Единственное, что мы всегда должны использовать эту оценочную карту, чтобы «применить» полином к какому-либо объекту. Люди естественным образом создают сокращение «p(x)» для приведенного выше значения, несмотря на то, что это противоречит формальному определению! (По формальному определению p(1) будет коэффициентом линейного члена, но, согласно удобному сокращению, p(1) будет суммой всех коэффициентов!)

Есть ли смысл говорить, что «символы не зависят от значения или интерпретации»?

Как я надеюсь, остальная часть моего ответа показала, что на самом деле это не имеет ничего общего с полиномами и утверждениями вашего профессора. Тем не менее, действительно разумно сказать, что символы — это просто символы, лишенные смысла, если вы их не интерпретируете. В математической логике мы даже специально определяем интерпретацию как функцию строк символов, которая должна быть картой их «значений».

Могут ли существовать символы, не имеющие ни «интерпретации», ни «значения»? Другими словами, каков онтологический статус символов?

Выберите произвольный набор из 100 пикселей в квадрате 100*100, и этот набор сформирует символ. Какое значение это имеет? Ну, вы можете сказать людям, что хотите использовать его для обозначения чего-то, и в этом случае оно будет иметь значение для всех, кто примет ваше решение. Точно так же мы можем сказать, что ответ на ваш вопрос — «Нет». потому что, учитывая любой символ, я могу интерпретировать его так, чтобы он означал все, что мне нравится, и он будет иметь для меня это значение.

В самом деле, бесполезно спрашивать, имеет ли смысл (сама по себе) строка символов просто потому, что ей можно придать любое значение. Что делает конкретную интерпретацию полезной, так это то, что она может быть применена единообразно ко всему набору строк (например, семантика первого порядка по структуре первого порядка, применяемая к предложениям первого порядка) и обладает нетривиальными свойствами (такими как правильность и полнота). ).

В вашем примере «x» является неопределенным многочленом, в этом его смысл. Обычно пишут «Х» (заглавная). Выражение «бессмысленный символ» вводит в заблуждение.

Вы можете заменить x произвольным значением. Тогда также полином оценивается до определенного значения в предположении, что вы знаете значение констант a_i.

Примечание . Спасибо за ответ @Kames Kingsbery, который я изменил на «неопределенный».

Просто быстрый ответ: x — это не бессмысленный символ, а бессмысленный знак, указывающий на другой знак, связи которого логически стандартизированы. Если бы x обозначал другой объект, он стал бы значащим символом. Конечно, проблема, которую вы поднимаете, относится к области логики, называемой философией математики, и сами математики обычно не являются философами, поэтому они могут быть не готовы ответить на какие-либо философские вопросы, и их общение со студентами отражает это. Задавать онтологический вопрос о математике или о сущностной реальности всех дедуктивных систем логики вообще немного похоже на вопрос о том, является ли конкретная реальность (созданная неким божественным существом) сущностно логичной или сущностно иррациональной, но частично рационализируемой нами в ходе нашей деятельности.