Вывод Даламбера уравнения Лагранжа - почему он может использовать как виртуальные, так и нормальные дифференциалы?

В «Классической механике» Гольдштейна и «Руководстве для студентов по лагранжианам и гамильтонианам» Хэмилла я заметил, что производные по виртуальному смещению и производные по нормальному смещению используются в разных точках доказательства, как показано ниже. Мой вопрос в том, почему может быть сделано это смешивание реальных и виртуальных производных?

Для упрощения уравнений предполагается, что существует только одна масса и одна связанная с ней обобщенная переменная с$x=x(q,t)$, с$\dot{x}$то есть дифференциал по времени.

Виртуальное перемещение$\delta x$используется для настройки уравнения виртуальной работы через:

$$\delta x = \frac {\partial x}{\partial q} \delta q, \qquad \delta t=0, \tag{1}$$

заменяется на ($F$это сила,$a$ускорение):

$$(F/m) \delta x = a \delta x = a \frac {\partial x}{\partial q} \delta q.\tag{2}$$

Следующие уравнения (3) и (4) используются для преобразования ускорения$a$в правой части (2) в виде, основанном на кинетической энергии$T$, используя обычное дифференциальное уравнение скорости с возможным явным$t$-зависимость:

$$v=\dot{x} = \frac {\partial x}{\partial q} \dot{q} + \frac {\partial x}{\partial t} \tag{3}$$

вывести:

$$\frac {\partial v}{\partial \dot{q}} = \frac {\partial x}{\partial q}. \tag{4}$$

Таким образом, похоже, что в (1) и (2) используются виртуальные смещения, а реальные смещения

$$\delta x = \frac {\partial x}{\partial q} \delta q + \frac {\partial x}{\partial t} \delta t \tag{5}$$ используются в частях (3) и (4) вывода Даламбера уравнений Лагранжа.