Действительно ли обобщенные координаты независимы?

Вы теряете информацию, делая это преобразование. В частности, вы будете знать только об орбите частицы и потеряете всю информацию о скорости.

В общем, обобщенное преобразование координат из набора$x^{a}$к набору$y^{a}$будет справедливым только в том случае, если для матрицы$M_{ab} = \frac{\partial y^{a}}{\partial x^{b}}$, у вас есть${\rm det}\left( M_{ab}\right) \neq 0$

1. Когда мы спрашиваем, являются ли обобщенные координаты $q^j$независимы, мы по определению имеем в виду перед использованием любого дифференциального$^1$уравнения движения. Дифференциальное уравнение движения по определению не считается ограничением.

2. Обобщенные координаты могут быть зависимыми, если у нас есть дополнительные ограничения, реализованные через множители Лагранжа .

--

$^1$Под уравнениями движения понимаются уравнения Лагранжа (в отличие от чисто кинематических тождеств). Под дифференциальными уравнениями движения понимаются уравнения движения с производными по времени.

Вы не должны пытаться сделать$t$координата; это метка для координат, по которым интегрируется лагранжиан, зависящий от координат, для формирования действия. (Наиболее очевидная проблема, связанная с этим, заключается в том, что импульс времени не определен, т.$\frac{\partial L}{\partial \dot{t}}=\frac{\partial L}{\partial 1}$.) Это было бы похоже на попытку изменить поля в теории, чтобы одно из них было заменено координатами пространства-времени, которые обозначают поля (обратите внимание, что они интегрируются, чтобы получить действие теории поля, то есть любые поля аналогичны обобщенным координатам).