Виртуальное перемещение

Это должно быть ясно, учитывая определение виртуального перемещения. Давайте посмотрим на это. Я позаимствовал это из «Лекций по аналитической механике» Ф. Гантмахера .

Рассмотрим систему частиц с векторами положения, которые мы обозначили как$\vec{r_i}$. На систему может быть наложено ограничение$f(\vec{r_i},\dot{\vec{r_i}},t)=0$. Рассмотрим подкласс ограничений$f(\vec{r_i},t)=0$. Эти ограничения называются голономными ограничениями. Теперь, продифференцировав это один раз, мы получим

$$\sum_i\frac{\partial f}{\partial\vec{r_i}}\cdot\vec{v_i}+\frac{\partial f}{\partial t}=0$$

Этому уравнению удовлетворяют скорости частиц. Скорости, подчиняющиеся этому уравнению, называются допустимыми скоростями. Определим допустимые перемещения как$\mathrm d\vec{r_i}=\vec{v_i}~\mathrm dt$. Это удовлетворяет,

$$\sum_i\frac{\partial f}{\partial\vec{r_i}}\cdot{\mathrm d\vec{r_i}}+\frac{\partial f}{\partial t}~\mathrm dt=0$$ Теперь мы можем определить виртуальные смещения как разницу между двумя допустимыми смещениями. то есть $\delta\vec{r_i}=(\vec{v}^\prime_i-\vec{v}_i)~\mathrm dt$. Поэтому это удовлетворяет, $$\sum_i\frac{\partial f}{\partial\vec{r_i}}\cdot\delta{\vec{r_i}}=0$$ Давайте сделаем пример. Рассмотрим простой маятник с длиной нити $l$крепится к качающейся опоре. Пусть координаты боба $(x,y)$и пусть координаты точки опоры заданы формулой $(L \cos(\Omega t),0)$. Тогда ограничение здесь $f(x,y,t)=(x-L\cos(\Omega t))^2+y^2-l^2=0$. Тогда допустимые перемещения удовлетворяют $2(x-L\cos(\Omega t)~\mathrm dx+2y~\mathrm dy+2(x-L\cos(\Omega t))L\Omega\sin(\Omega t)~\mathrm dt=0$тогда как виртуальные перемещения удовлетворяют $2(x-L\cos(\Omega t))~\delta x+2y~\delta y=0$.