Преобразование неголономных связей в голономные

Question

Преобразование неголономных связей в голономные

АльфаБаал

В случае качения диска без проскальзывания имеем ограничение $\dot{x}=a\dot{\theta}$ где $a$ это радиус диска. Обратите внимание, что я рассмотрел $x$ и $\theta$ как обобщенные координаты. По определению, это неголономная связь. Однако, интегрируя ограничение, мы приходим к $x=a\theta+\phi$ ( $\phi$ — числовая константа интегрирования), которая оказывается голономной.

В методе нахождения уравнений движения с помощью лагранжианов с множителем Лагранжа имеем $\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i} + \lambda \frac{\partial f}{\partial q_i} = 0$ где $f$ представляет собой ограничение и $q_i$ это $i$ й обобщенной координаты. В случае выше, $q_i=\{x,\theta\}$ . Если бы мы использовали $f=\dot{x}-a\dot{\theta}$ в качестве ограничения последний член модифицированного Эйлера-Лагранжа был бы равен нулю. Однако, если мы используем интегрированную версию того же ограничения, мы получим ненулевые члены ( $\lambda$ и $a\lambda$ для $x$ и $\theta$ соответственно). Удивительно, но последнее правильно согласно Гольдштейну. Что мне здесь не хватает? (Я специально имею в виду пример обруча, катящегося по склону во второй главе «Гольдштейна»)

Это подводит меня к более общему вопросу: как в методе множителей Лагранжа мне следует записать соотношение ограничений? Чтобы проиллюстрировать, что я имею в виду, возьмем следующее ограничение, выраженное словами: частица движется по окружности радиусом $a$ . Если я обозначу положение частицы через $r$ (обобщенная координата), то ограничение диктует $r-a=0$ . В качестве альтернативы я могу написать то же самое, что и $r^3-a^3=0$ , частичная производная которого по $r$ не то же самое, что в $r-a=0$ случай. Что тут происходит?

Ответы (2)

Преобразование неголономных связей в голономные

Qмеханик · Answer 1

Тип неголономной связи , который Ref. 1, который сейчас обсуждается, является так называемым полуголономным ограничением , которое представляет собой неголономное ограничение, задаваемое одной формой
$\begin{matrix} (С) & ю \equiv \sum_{Дж "=" 1}^{н} а_{Дж} (д, т) г д^{Дж} + а_{0} (д, т) г т "=" 0. \end{matrix}$ $\omega~\equiv~\sum_{j=1}^na_j(q,t)~\mathrm{d}q^j+a_0(q,t)\mathrm{d}t~=~0. \tag{S}$
Если существует (i) голономная связь
$\begin{matrix} (ЧАС) & ф (д, т) "=" 0, \end{matrix}$ $f(q,t)~=~0,\tag{H}$ (ii) интегрирующий фактор $\lambda(q,t)\neq 0$ и (iii) одна форма $\eta$ такой, что $\begin{matrix} (Я) & λ ю + ф η \equiv г ф, \end{matrix}$ $\lambda\omega+ f\eta~\equiv~\mathrm{d}f , \tag{I}$ тогда ограничение (S) эквивалентно голономному ограничению (H). Это, например, случай одномерной прокатки на рис. 2.5, о котором упоминает OP; но не с 2D прокаткой на рис. 1.5. Чтобы прояснить любую путаницу, мы, вероятно, должны подчеркнуть, что неинтегрируемая полуголономная связь не может быть преобразована в голономную связь.
Чтобы узнать о некоторых других вопросах ОП, см. также этот , этот , этот и этот связанные посты Phys.SE.

Использованная литература:

Герберт Гольдштейн, Классическая механика, главы 1 и 2.

Эли · Answer 2

Я хочу ответить на вопрос, что произойдет, если вы напишете уравнение ограничения для кругового пути, подобного этому.

\begin{matrix} (1) & ф_{1} "=" р - а "=" 0 \end{matrix}

$f_{1}=r-a=0\tag 1$ или как этот

\begin{matrix} (2) & ф_{2} "=" р^{3} - а^{3} "=" 0 \end{matrix}

$f_{2}=r^3-a^3=0\tag 2$

Уравнения EL с векторной записью:

\begin{matrix} (3) & \frac{г}{г т} {(\frac{\partial л}{\partial \vec{\dot{ж}}})}^{Т} - {(\frac{\partial л}{\partial \vec{ж}})}^{Т} + {(\frac{\partial \vec{ф}}{\partial \vec{ж}})}^{Т} \vec{λ} "=" \vec{0} \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \vec{\dot{w}}}\right)^T-\left(\frac{\partial L}{\partial \vec{w}}\right)^T + \left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)^T\,\vec{\lambda} = \vec{0} \tag 3$

с полярной координатой $\vec{w}=[r\,,\varphi]^T$ , вектор степеней свободы

вам нужно дополнительное уравнение, чтобы решить уравнение (3) для $\ddot{r}_i\,,\ddot{\varphi}_i$ и $\lambda_i$

\begin{matrix} (4) & \frac{г^{2}}{г т^{2}} \vec{ф} "=" (\frac{\partial \vec{ф}}{\partial \vec{ж}}) \vec{\ddot{ж}} + \frac{г}{г т} (\frac{\partial \vec{ф}}{\partial \vec{ж}} \vec{\dot{ж}}) "=" (\frac{\partial \vec{ф}}{\partial \vec{ж}}) \vec{\ddot{ж}} + \frac{г}{г \vec{ж}} (\frac{\partial \vec{ф}}{\partial \vec{ж}} \vec{\dot{ж}}) \vec{\dot{ж}} "=" \vec{0} \end{matrix}

$\frac{d^2}{dt^2}\vec{f}=\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)\,\vec{\ddot{w}}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\,\vec{\dot{w}}\right)=\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)\,\vec{\ddot{w}}+\frac{d}{d\vec{w}}\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\,\vec{\dot{w}}\right)\,\vec{\dot{w}} =\vec{0}\tag 4$

с уравнением (3), (4) и (1) вы получите:

\begin{matrix} (5) & [\begin{matrix} \frac{г^{2}}{г т^{2}} р (т) \\ \frac{г^{2}}{г т^{2}} ф (т) + 2 \frac{(\frac{г}{г т} р (т)) \frac{г}{г т} ф (т)}{р (т)} \end{matrix}] "=" \vec{0} \end{matrix}

$\left[ \begin {array}{c} {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}r \left( \tau \right) \\ {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}\varphi \left( \tau \right) +2\,{\frac { \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau \right) } {r \left( \tau \right) }}\end {array} \right] =\vec{0}\tag 5$

и

λ "=" [\begin{matrix} - м р (т) {(\frac{г}{г т} ф (т))}^{2} \end{matrix}]

$\lambda=\left[ \begin {array}{c} -mr \left( \tau \right) \left( {\frac {d}{d \tau}}\varphi \left( \tau \right) \right) ^{2}\end {array} \right]$

и с уравнением (3), (4) и (2) вы получите:

\begin{matrix} (6) & [\begin{matrix} \frac{г^{2}}{г т^{2}} р (т) - 2 \frac{{(\frac{г}{г т} р (т))}^{2}}{р (т)} \\ \frac{г^{2}}{г т^{2}} ф (т) + 2 \frac{(\frac{г}{г т} р (т)) \frac{г}{г т} ф (т)}{р (т)} \end{matrix}] "=" \vec{0} \end{matrix}

$\left[ \begin {array}{c} {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}r \left( \tau \right) -2\,{\frac { \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) ^{2}}{r \left( \tau \right) }}\\{\frac {d^ {2}}{d{\tau}^{2}}}\varphi \left( \tau \right) +2\,{\frac { \left( { \frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) {\frac {d}{d\tau}} \varphi \left( \tau \right) }{r \left( \tau \right) }}\end {array} \right] =\vec{0}\tag 6$

и

λ "=" [\begin{matrix} - \frac{1}{3} \frac{м ({(р (т))}^{2} {(\frac{г}{г т} ф (т))}^{2} - 2 {(\frac{г}{г т} р (т))}^{2})}{{(р (т))}^{3}} \end{matrix}]

$\lambda=\left[ \begin {array}{c} -\frac{1}{3}\,{\frac {m \left( \left( r \left( \tau \right) \right) ^{2} \left( {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau \right) \right) ^{2}-2\, \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) ^{2} \right) }{ \left( r \left( \tau \right) \right) ^{3}}}\end {array} \right]$

таким образом, уравнения движения и действующие силы не равны!

для обоих уравнений связи $f_1$ и $f_2$ является $r=a$ , замените r равным a в уравнениях
(5) и (6), таким образом, EOM теперь равны:

[\begin{matrix} 0 \\ \frac{г^{2}}{г т^{2}} ф (т) \end{matrix}] "=" \vec{0}

$\left[ \begin {array}{c} 0\\{\frac {d^{2}}{d{\tau} ^{2}}}\varphi \left( \tau \right) \end {array} \right] =\vec{0}$

и

{\vec{Ф}}_{λ я} "=" {(\frac{\partial \vec{ф_{я}}}{\partial \vec{ж}})}^{Т} \vec{λ_{я}} "=" [\begin{matrix} - а м {(\frac{г}{г т} ф (т))}^{2} \\ 0 \end{matrix}], я "=" 1, 2

$\vec{F}_{\lambda i}=\left(\frac{\partial \vec{f_i}}{\partial \vec{w}}\right)^T\,\vec{\lambda_i}=\left[ \begin {array}{c} -am \left( {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau \right) \right) ^{2}\\ 0\end {array} \right] \quad, i=1,2$

теперь равны

Преобразование неголономных связей в голономные

АльфаБаал

Ответы (2)

Qмеханик

Эли

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Голономные ограничения и степени свободы

Что такое голономные и неголономные связи?

Почему система должна быть голономной?

Действительно ли обобщенные координаты независимы?

Виртуальное перемещение

Вывод Даламбера уравнения Лагранжа - почему он может использовать как виртуальные, так и нормальные дифференциалы?

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

Путаница с виртуальными смещениями