Что такое метафизическая возможность?

Несколько официальных заметок в дополнение к отличному ответу Мауро. Как и следовало ожидать при обсуждении модальности, мы будем говорить о модальных моделях при определении вещей. Большинство будет знакомо с логикой K, S4 и так далее. K и его суперлогика слишком сложны для обсуждения метафизических модальностей, поэтому мы начнем с модальных моделей до Крипке, возвращаясь к Карнапу. Начнем с языка:

Определение 1. ( Пропозициональный модальный язык ) Для пропозициональной буквы p язык пропозициональной модальной логики определяется следующей грамматикой:

                                              ф := р | ф' | ¬φ | (ф ∧ ф) | □φ.

Это означает, что p с любым количеством простых чисел является формулой, ¬φ является формулой, если φ является формулой, и так далее. Чтобы интерпретировать этот язык, мы определяем модальные модели Карнапа (позже мы уточним их; см. определение 6):

Определение 2. ( Модели Карнапа ) Модальная модель Карнапа — это одноэлементная модель M = (V), где V — множество оценок от формул языка пропозициональной модальной логики до значений истинности.

С их помощью мы можем определить, что означает истинность формулы пропозиционального модального языка (определение 1) в модели Карнапа по отношению к оценке (~миру):

Определение 3. ( Карнаповская семантика ) Истинность формулы φ пропозиционального модального языка в модели Карнапа при нормировании v ∈ V определяется индукцией по сложности φ следующим образом:

1. M, v |= p тогда и только тогда, когда v(p) = 1;
2. M, v |= ¬φ тогда и только тогда, когда ¬(M, v |= φ);
3. M, v |= φ ∧ ψ тогда и только тогда, когда (M, v |= φ) и (M, v |= ψ);
4. M, v |= □φ тогда и только тогда, когда ∀ _{v′ ∈ M} : M, v′ |= φ.

Единственное предложение, на которое стоит обратить внимание, — это предложение для ящика: □φ истинно в модели Карнапа M = (V) при оценке v ∈ V только в том случае, если φ истинно во всех оценках в V, без каких-либо ограничений. ! Из-за отсутствия ограничений доступности модели Карнапа представляют собой естественную основу для объяснения понятий метафизической возможности и необходимости:

Определение 4. ( Метафизическая необходимость □ _m ). Формула φ пропозиционального модального языка метафизически необходима (символически: □ _m φ) тогда и только тогда, когда она истинна в моделях Карнапа при всех оценках.

Пример. Посмотрим, является ли формула (p ∨ ¬p) метафизически необходимой. Это верно тогда и только тогда, когда □(p ∨ ¬p) справедливо по отношению к моделям Карнапа. Напомним, что оценки — это просто расширения присваивания истинности пропозициональным буквам, встречающимся в формулах. В этом случае у нас есть только одна пропозициональная буква, а именно. 'п'. Таким образом, возможны две оценки: v ₁ = {(p, ⊤)} и v ₂ = {(p, ⊥)}, так что давайте проверим, выполняется ли (p ∨ ¬p) в обеих. Ясно, что это так: v ₁ удовлетворяет p, поэтому вся дизъюнкция также выполняется; и v ₂ удовлетворяет ¬p, так что снова вся дизъюнкция также выполняется. Следовательно, мы знаем, что (p ∨ ¬p) метафизически необходимо. Аналогичным образом определяется метафизическая возможность:

Определение 5. ( Метафизическая возможность ◇ _m ). Формула φ пропозиционального модального языка метафизически возможна (символически: ◇ _m φ), если она истинна в моделях Карнапа при некоторой оценке.

Пример. Посмотрим, возможна ли метафизически формула (p ∧ q). Это верно тогда и только тогда, когда ◇(p ∧ q) верно по отношению к моделям Карнапа. Поскольку в этой формуле две пропозициональные буквы, а именно. 'p' и 'q' имеется 2 ² = 4 возможных оценки: v ₁ = {(p, ⊥), (q, ⊥)}, v ₂ = {(p, ⊥), (q, ⊤) }, v ₃ = {(p, ⊤), (q, ⊥)}, v ₄ = {(p, ⊤), (q, ⊤)}. Теперь ◇(p ∧ q) будет верным только в том случае, если среди этих четырех st p ≡ q ≡ ⊤ есть хотя бы одна оценка. Есть ли такая оценка? Да, _v4 . Следовательно, мы знаем, что (p ∧ q) метафизически возможно.

Теперь, если мы хотим эксплицировать понятия физических, биологических, эпистемологических и т. д. модальностей, мы должны каким-то образом ограничить эти карнаповские модели. К счастью, это уже сделал Крипке, который ввел понятие относительных модальностей (в моделях Карнапа модальности абсолютны в том смысле, что мы оцениваем их по отношению ко всем моделям). Пропозициональный язык, который мы определили выше (определение 1), мы теперь будем интерпретировать в моделях Крипке в надежде определить неметафизические модальности.

Определение 6. ( Модели Крипке ) Модель Крипке или реляционная модальная модель — это тройка M = (W, R, V), где W — множество возможных миров, R — бинарное отношение доступности на W, а V — оценка из формулы в пропозициональном модальном языке и миры в W к истинностным значениям.

С их помощью мы можем определить, что означает истинность формулы φ пропозиционального модального языка в модели Крипке по отношению к миру оценки:

Определение 7. ( Семантика Крипке ) Истинность формулы φ пропозиционального модального языка в модели Крипке M = (W, R, V) в мире w ∈ W определяется индукцией по сложности φ следующим образом:

1. M, w |= p тогда и только тогда, когда V(p, w) = 1;
2. M, w |= ¬φ тогда и только тогда, когда ¬(M, w |= φ);
3. M, w |= φ ∧ ψ тогда и только тогда, когда (M, w |= φ) и (M, w |= ψ);
4. M, w |= □φ тогда и только тогда, когда ∀ _{w′ ∈ W} : wRw′ → M, w′ |= φ.

Это последнее, четвертое предложение является решающим различием между модальной логикой до и после Крипке: формула необходима тогда и только тогда, когда она истинна во всех доступных/связанных с w мирах, а не во всех мирах вообще. Именно это понятие относительной доступности мы можем использовать для определения неметафизических понятий возможности и необходимости. Чтобы сосредоточиться, давайте определим понятие физической необходимости/возможности, следуя определению Мауро. Предположим, что для любого заданного мира w задано множество L(w) физических законов. Определим понятие физической доступности R _p следующим образом:

Определение 8. ( Физическая доступность R _p ) Мир v физически доступен из мира w (символически: wR _p v) относительно пространства физических законов тогда и только тогда, когда L(w) и L(v) непротиворечивы.

Пример. Пусть w будет нашим миром, а L(w) — нашими законами физики. Произвольный возможный мир v физически доступен из нашего мира (wR _p v) только в том случае, если законы физики L(v) в v не нарушают ни один из наших L(w).

С этим понятием физической доступности мы можем определить физическую необходимость следующим образом:

Определение 9. ( Физическая необходимость □ _p ) Формула φ пропозиционального модального языка физически необходима (символически: □ _p φ) в мире w в модели Крипке M тогда и только тогда, когда она истинна во всех физически доступных мирах, т. е. для всех v ∈ M st wR _p v, M, v |= p.

Аналогичным образом мы можем определить понятие физической возможности:

Определение 10. ( Физическая возможность ◇ _p ) Формула φ пропозиционального модального языка физически возможна (символически: ◇ _p φ) в мире w в модели Крипке M тогда и только тогда, когда она истинна в некотором физически доступном мире, т. е. для некоторого v ∈ M st wR _p v, M, v |= p.

Аналогичное объяснение можно сделать и для других неметафизических модальностей. Все, что нужно добавить, — это соответствующее определение доступности (например, эпистемическое, доксастическое и т. д.).

Я должен упомянуть, что нам не нужно было обращаться к моделям Крипке, чтобы объяснить неметафизические модальности; мы могли бы добавить ограничения к моделям Карнапа непосредственно с помощью оценок. Точно так же мы могли бы получить (что-то очень близкое к) модели Карнапа, рассматривая модели Крипке с Rs, которые являются отношениями эквивалентности (соответствующими S5); потому что для таких моделей, поскольку каждый мир доступен из любого мира, понятие доступности становится бесполезным. Так что считайте, что я лично предпочитаю использовать модели Карнапа для метафизических потребностей (в отличие от чего-то вроде S5) и модели Крипке для неметафизических.

Надеюсь это поможет. Предложения/исправления приветствуются, как всегда.

См. запись SEP об эпистемологии модальности :

Φ метафизически возможно тогда и только тогда, когда Φ истинно в каком-то метафизически возможном мире. Пример : Метафизически возможно, что какая-то физическая частица движется быстрее скорости света.

Сравнить с :

Φ физически возможно по отношению к физическим законам L тогда и только тогда, когда Φ логически согласуется с L. Пример : Учитывая действительные законы физики, физически поезд может двигаться со скоростью 150 миль в час.