Что такое связи в физике?

Question

Что такое связи в физике?

МНРая

Этот вопрос возникает из-за личного непонимания разговора с моим другом. Он задал мне вопрос об «истинной природе» спиноров, т. е. задал мне вопрос о том, что такое спинорный объект. После нескольких строк диалога он спросил что-то совершенно чуждое мне:

— Значит, спиноры — это соединения Леви-Чивиты?

Связь между математическим объектом, который моделирует физические объекты в теории поля (например, спинор Дирака), и чисто математическим объектом, таким как связь Леви-Чивиты, до сих пор интригует меня.

Теперь, сегодня я столкнулся с этим вопросом здесь:

При каком представлении трансформируются символы Кристоффеля?

а во втором ответе пользователь сделал другую связь между теорией поля и связями:

««Символы Кристоффеля» теперь являются просто компонентами главной связи на этом расслоении, где «форма связи» более известна физикам как калибровочное поле»

Я задаю этот вопрос, потому что с точки зрения элементарной общей теории относительности нас учат, что нам нужны псевдориманновы многообразия и связность (Леви-Чивиты), чтобы, грубо говоря, создать четко определенное понятие производной. тензорных полей. С этой точки зрения связь есть не что иное, как линейная карта.

Итак, что такое Связи в физике, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО?

СлучайныйПреобразование Фурье

Связь в физике действительно есть связь в строгом математическом смысле. У связи есть точное определение, и в физике мы используем это определение (иногда неявно или незаметно для нас). Я не уверен, что еще вы хотите знать.

Кнчжоу

«Связь между математическим объектом, который моделирует физические объекты [...], и чисто математическим объектом, таким как связь Леви-Чивиты, до сих пор меня интригует». Как вы думаете, чем отличается математический объект от «чисто» математического? Почему спиноры Дирака менее «чисто» математические, чем соединения?

Г. Смит

Я просто думаю о связях как о ковариантных производных. В ОТО вам нужны производные, ковариантные относительно общих преобразований координат, и «добавление» символов Кристоффеля достигает этого. В калибровочных теориях вам нужны производные, ковариантные при внутреннем калибровочном преобразовании, и этого можно добиться «добавлением» калибровочных полей. Существует уровень абстракции, на котором это одно и то же, но при первом изучении ОТО и КТП я не уверен, что вам нужно это понимать.

Г. Смит

Это не было очевидным для первых людей, занимавшихся ОТО и КТП. Если я правильно понимаю, оно возникло после того, как дифференциальная геометрия обобщила многообразия с касательным пространством в каждой точке и многообразия с «группой Ли в каждой точке» в понятие расслоения.

Г. Смит

В любом случае спиноры не являются связями, но существуют «спиновые связи» для ковариантно дифференцирующихся спиноров.

Ответы (3)

Что такое связи в физике?

Связь в физике действительно есть связь в строгом математическом смысле. У связи есть точное определение, и в физике мы используем это определение (иногда неявно или незаметно для нас). Я не уверен, что еще вы хотите знать.
«Связь между математическим объектом, который моделирует физические объекты [...], и чисто математическим объектом, таким как связь Леви-Чивиты, до сих пор меня интригует». Как вы думаете, чем отличается математический объект от «чисто» математического? Почему спиноры Дирака менее «чисто» математические, чем соединения?
Я просто думаю о связях как о ковариантных производных. В ОТО вам нужны производные, ковариантные относительно общих преобразований координат, и «добавление» символов Кристоффеля достигает этого. В калибровочных теориях вам нужны производные, ковариантные при внутреннем калибровочном преобразовании, и этого можно добиться «добавлением» калибровочных полей. Существует уровень абстракции, на котором это одно и то же, но при первом изучении ОТО и КТП я не уверен, что вам нужно это понимать.
Это не было очевидным для первых людей, занимавшихся ОТО и КТП. Если я правильно понимаю, оно возникло после того, как дифференциальная геометрия обобщила многообразия с касательным пространством в каждой точке и многообразия с «группой Ли в каждой точке» в понятие расслоения.
В любом случае спиноры не являются связями, но существуют «спиновые связи» для ковариантно дифференцирующихся спиноров.

пользователь195162 · Answer 1

Связи в физике «являются» такими же, как и в математике, но обычно интерпретируются как потенциалы поля, за исключением ОТО.

Интерпретация естественным образом следует из концепции ковариантной производной: локальные преобразования изучаемого поля не должны изменять вовлеченную физику (т.е. лагранжиан должен быть инвариантным), поэтому вводится другое «калибровочное» поле, которое имеет собственную динамику для отмены изменений. от трансформации поля материи.

Возьмем случай квантовой электродинамики: лагранжиан (плотность) равен

л "=" \bar{ψ} (я γ^{мю} \partial_{мю} + м) ψ

$\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^\mu\partial_\mu + m\right)\psi$

Можно проверить, что он инвариантен относительно преобразования $\psi\to e^{i\lambda}\psi$ когда $\lambda$ является константой. Чтобы сделать преобразование локальным, мы «продвигаем» $\lambda$ к функции, но теперь у нас есть оскорбительный термин $\overline{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\lambda e^{i\lambda}\psi$ ! Все хорошо, если ввести ковариантную производную $\mathcal{D}_\mu=\partial_\mu-ie_0A_\mu$ такой, что $A_\mu\to A_\mu +\partial_\mu \lambda$ есть соответствующее преобразование.

Тогда полный лагранжиан

л "=" \bar{ψ} (я γ^{мю} \partial_{мю} + м) ψ + е_{0} \bar{ψ} γ^{мю} А_{мю} ψ + \frac{1}{4} Ф^{мю ν} Ф_{мю ν}

$\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^\mu\partial_\mu + m\right)\psi + e_0\overline{\psi}\gamma^\mu A_\mu \psi + \frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$

где $F_{\mu\nu}$ - тензор напряженности электромагнитного поля, введенный для учета динамики потенциального (фотонного) поля $A_\mu$

Связи в контексте теории относительности вместо этого представляют собой напряженность гравитационного поля, поскольку в нашей принятой в настоящее время теории гравитация не является «калибровочным полем», подобно фотонному полю. Отождествление гравитации с искривлением пространства-времени заставляет частицы двигаться в соответствии с уравнением геодезии, которое может восстановить обычный закон Гаусса для гравитации в ньютоновском пределе.

«Наша принятая в настоящее время теория гравитации не является «калибровочным полем», подобно фотонному полю». Ну и "спиновое соединение" $\omega$ является «калибровочным полем» калибровочной теории гравитации, где калибровочной группой является спин (1,3) (двойное покрытие группы Лоренца).
@MadMax Я не знал об этом. Является ли калибровочная теория гравитации более общепринятой, чем ОТО? В каких книгах/статьях я могу найти дополнительную информацию?
Вот ссылка на калибровочную гравитацию: journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.48.393

Гэри Годфри · Answer 2

Вот физический способ, которым я думаю о калибровочных преобразованиях. Нас очень интересует перемещение объектов в пространстве-времени. Переводы в пространстве-времени (наряду с вращениями и бустингами) явно подчиняются аксиомам группы Ли (например, группы Пуанкаре). Оператор $p^{\mu}$ является генератором группы Ли пространственно-временных трансляций, и $[p^i,p^j]=0$ для группы Пуанкаре. Это предсказывает, что если мы переместим (только переместим... без вращения, усиления или деформации) объект по циклу, результирующий объект будет идентичен тому, с которого мы начали. К сожалению, это не то, что происходит с реальными физическими объектами.

Когда в присутствии других заряженных частиц мы перемещаем заряд по контуру, выполняется U(1)-преобразование Q, и квантово-механическая фаза результирующего объекта изменяется.

Когда в присутствии других слабо взаимодействующих частиц мы перемещаем объект по петле, преобразования $SU(2)_{Weak}$ сделаны, и объект поворачивается в другие слабые изоспиновые состояния.

Когда в присутствии другой сильно взаимодействующей частицы мы перемещаем объект по петле, преобразования $SU(3)_{Color}$ сделаны, и объект поворачивается в другие цветовые состояния.

Когда в присутствии другой массы, которая «искривляет пространство-время», мы перемещаем объект по петле, выполняются преобразования GL(4), и результирующий объект поворачивается, ускоряется или деформируется по отношению к исходному объекту (даже хотя мы тщательно не делали вращений, ускорений или напряжений по пути!).

Итак, вводим калибровочные преобразования, чтобы «подлатать» генераторы перевода $p^{\mu}$ , и небольшой перевод теперь выглядит так:

(1 + д {Икс}^{мю} п_{мю}) \to (1 + д {Икс}^{мю} п_{мю})

$(1+dx^{\mu}p_{\mu}) \rightarrow (1+dx^{\mu} P_{\mu} )$

п_{мю} "=" п_{мю} + А_{мю} Вопрос + Б_{мю к} я^{к} + С_{мю н} λ^{н} + Г_{мю β}^{α} {Дж}_{α}^{β}

$P_{\mu}=p_{\mu} + A_{\mu}Q + B_{\mu k}I^k + C_{\mu n}\lambda^n + \Gamma_{\mu \beta}^{\alpha}J^{\beta}_{\alpha}$

Где $A, B, C, \Gamma$ являются электромагнитной, слабой, сильной и аффинной связью (= символ Кристоффеля) «калибровочными полями» (или также могут быть названы коэффициентами связи), и $Q,I,\lambda,J$ являются U (1), $SU(2)_{Weak}$ , $SU(3)_{Color}$ , и генераторы калибровочных групп GL(4). Я опустил константу связи в каждом из приведенных выше терминов, чтобы не путать вещи. Таким образом, говорят, что Стандартная модель физики элементарных частиц U(1) X $SU(2)_{Weak}$ Икс $SU(3)_{Color}$ … X GL(4), где я добавил GL(4) в конце для людей, которые думают об общей теории относительности как о калибровочной теории.

Обычно эту историю представляют как латание частной производной $\partial^{\mu}$ стать ковариантной производной $D^{\mu}$ . Эти производные являются просто конкретными представлениями оператора $p^{\mu}$ и $P^{\mu}$ когда они работают с непрерывными функциями.

ничегоIsMere · Answer 3

Я думаю о «связях в физике» как о группе понятий — параллельный перенос, ковариантная производная, одноформы связи, геодезические, символы Кристоффеля, калибровочные поля — все они существуют для решения одной и той же основной проблемы, которую можно сформулировать как следует.

В физике наши модели представлены в виде дифференциальных уравнений, применяемых к полям на многообразиях. Итак, мы хотим выразить, как поле изменяется от точки к точке многообразия. Проблема в том, что пространства, в которых живут объекты, независимы от точки к точке.

Возьмем пример касательных векторов. Мы хотим знать, насколько меняется касательное векторное поле при переходе от x к y. Значит, надо как-то сравнивать эти два вектора. Но касательный вектор в точке х находится в совершенно другом векторном пространстве, чем касательный вектор в точке у. Как можно сравнивать векторы, которые даже не живут в одном и том же векторном пространстве? Просто нет встроенного способа сравнения двух объектов, которые не находятся в одном и том же пространстве.

Таким образом, чтобы сравнить вектор в точке y с вектором в точке x (чтобы увидеть, насколько он изменился для нашего уравнения движения), нам нужен какой-то способ указать, какой вектор в точке y считается «таким же, как» вектор в точке x. Так сказать, способ «соединить» два пространства. Затем мы можем сравнить этот «тот же самый» вектор с вектором в точке y и сказать, что разница между ними и есть то изменение, которое мы искали.

Это концепция, лежащая в основе параллельного транспорта. Интуитивно кажется, что способ, которым мы можем сравнить вектор в точке x с вектором в точке y, состоит в том, чтобы просто сдвинуть вектор в точке x к y, сохраняя его все время параллельным самому себе. Таким образом, мы знаем, что на самом деле мы сравниваем вектор в точке y с вектором в точке x.

Однако наши интуитивные представления о параллелизме обманчивы. (Подумайте о том, как это будет работать с касательными векторами к сфере.) Таким образом, мы в конечном итоге определяем параллельный транспорт как транспорт, в котором ковариантная производная вектора вдоль транспортного пути равна нулю. Но сама ковариантная производная требует связи, т. е. спецификации того, какой вектор в точке y считается «таким же, как» какой вектор в точке х, иначе как бы вы взяли производную, чтобы найти, что она равна нулю, и, таким образом, вы параллельно перенесли вектор? ?

Так что же думать о ковариантной производной? Опять же, начнем с того, что векторные пространства (это относится к более общим объектам, я просто использую векторы для определенности) в разных точках многообразия (например, пространства-времени) не зависят друг от друга. В частности, они могут быть по-разному скоординированы, т. е. могут быть описаны с использованием разных базисных наборов. (В некоторых контекстах это называется «движущимися кадрами».)

Опять же, это создает проблему, когда мы хотим знать, изменилось ли векторное поле при перемещении из точки x в точку y. Если у нас должна быть свобода выбора другого базиса для каждой точки, это означает, что теперь у нас есть две причины, по которым мы можем обнаружить изменение компонентов вектора от точки x до точки y:

а) вектор мог фактически измениться, когда мы перешли от x к y, независимо от того, изменился ли базис или нет

б) основа, которую мы используем для численного описания вектора, могла измениться с x на y, независимо от того, изменился вектор или нет.

Очевидно, нас интересуют только фактические изменения самого вектора. Другие изменения являются ложными артефактами выбора координат, который является произвольным для физических целей. Следовательно, нам нужно встроить в наши дифференциальные уравнения способ «вычитания» любого изменения в базисе, чтобы любое изменение компонентов, появляющееся в нашем уравнении, гарантированно возникало из подлинного изменения самого вектора.

Задачей этого «вычитания» является поправочный член, который добавляется к производному оператору. Именно этот поправочный термин мы называем в физике «калибровочным полем». В ОТО это символы Кристоффеля. Потенциальное ЭМ поле в этом смысле также является калибровочным полем.

Чтобы уточнить это, символы Кристоффеля, например, являются компонентами изменений в базисных векторах, когда мы перемещаемся из одной точки в другую. У них есть 3 индекса: один индекс отслеживает, какой компонент представляет этот символ, один отслеживает, в каком базисном векторе вы измеряете изменение, и один индекс отслеживает, в каком направлении базисного вектора вы движетесь. Таким образом, ijk-й символ Кристоффеля означает «i-ю компоненту изменения j-го базисного вектора при движении в направлении k-го базисного вектора».

Это основные идеи, хотя, конечно, можно еще сказать о кривизне связности, напряженности поля и т. д. Но все остальное на самом деле просто развитие этой по существу простой идеи в терминах дифференциальной геометрии групп Ли и расслоений.

Для будущих туристов в этих лесах вот несколько ссылок, которые я нашел полезными для понимания связей и полей датчиков:

Мориясу, Элементарное пособие по калибровочной теории

Фецко, Дифференциальная геометрия и группы Ли для физиков

Баез, калибровочные поля, узлы и гравитация

Грон, Теория Эйнштейна для математически неподготовленных (глава о символах Кристоффеля)

Шуллер, Геометрическая анатомия теоретической физики, видео , конспекты лекций

Лам, Кай С. Основы классической механики , Нерелятивистская квантовая теория , Вопросы современной математической физики

Швихтенберг, Физика из финансов

Ченг, Физика Эйнштейна , теория относительности, гравитация и космология

Хили, Измерение того, что реально

Виалле, Геометрическая установка калибровочных полей типа Янга-Миллса

Фре, Гравитация: курс геометрии, том 1