Использование слова «полный» в словах «полный набор состояний» или «полная основа».

Существует как минимум три понятия базиса в зависимости от рассматриваемой вами математической структуры. Я быстро рассмотрю три случая, имеющих отношение к физике (топологические векторные пространства тоже имеют значение, но я не буду их рассматривать для краткости).

(1) Чисто алгебраическая структура (т.е. структура векторного пространства над полем$\mathbb K=$ $\mathbb R$или же$\mathbb C$, на самом деле определение применимо и к модулям).

Базис в смысле Гамеля.

Учитывая векторное пространство$V$над полем$\mathbb K$, множество$B \subset V$называется алгебраическим базисом или базисом Гамеля , если его элементы линейно независимы и каждый$v \in V$можно разложить как:

$$v = \sum_{b \in B} c_b b$$ для конечного набора ненулевых чисел$c_b$в$\mathbb K$в зависимости от$v$.

Полнота _$B$означает здесь, что множество конечных линейных комбинаций элементов в$B$включает (фактически совпадают) все пространство$V$.

Примечания.

• Это определение применимо и к бесконечномерным векторным пространствам. Существование алгебраических базисов вытекает из леммы Цорна.

• Можно доказать, что все алгебраические базисы имеют одинаковую мощность.

• Разложение$v$над основой$B$оказывается уникальным .

(2) Структура банахова пространства (т.е. векторное пространство над$\mathbb K$признает норму$||\:\:|| : V \to \mathbb R$и оно полно относительно метрической топологии, индуцированной этой нормой).

Базис в смысле Шаудера.

Учитывая бесконечномерное банахово пространство$V$над полем$\mathbb K = \mathbb C$или же$\mathbb R$, счетное упорядоченное множество$B := \{b_n\}_{n\in \mathbb N} \subset V$называется базисом Шаудера , если каждый$v \in V$можно однозначно разложить как:

$$v = \sum_{n \in \mathbb N} c_n b_n\quad (2)$$ для множества, обычно бесконечного, чисел $c_n \in \mathbb K$в зависимости от $v$где сходимость суммы относится как к топологии банахова пространства, так и к порядку нумерации $B$. Идентичность (2) означает: $$\lim_{N \to +\infty} \left|\left|v - \sum_{n=1}^N c_{n} b_n\right|\right| =0$$

Полнота _$B$означает здесь, что множество счетно бесконечных линейных комбинаций элементов в$B$включает (фактически совпадают) все пространство$V$.

Примечания.

• Элементы базиса Шаудера линейно независимы (как для конечных, так и для бесконечных линейных комбинаций).

• Бесконечномерное банахово пространство также допускает базисы Гамеля, поскольку оно также является векторным пространством. Однако можно доказать, что базы Гамеля всегда несчетны, в отличие от базисов Шаудера.

• Не все бесконечномерные банаховы пространства допускают базисы Шаудера. Необходимое, но не достаточное условие состоит в том, что пространство должно быть сепарабельным (а именно содержать плотное счетное подмножество).

(3) Структура гильбертова пространства (т.е. векторное пространство над$\mathbb K$допускает скалярное произведение$\langle \:\:| \:\:\rangle : V \to \mathbb K$и оно полно относительно метрической топологии, индуцированной нормой$||\:\:||:= \sqrt{\langle \:\:| \:\:\rangle }$).

Базис в смысле Гильберта (Рисса-фон Неймана).

Учитывая бесконечномерное гильбертово пространство$V$над полем$\mathbb K = \mathbb C$или же$\mathbb R$, множество$B \subset V$называется базисом Гильберта , если выполняются следующие условия:

(1)$\langle z | z \rangle =1$а также$\langle z | z' \rangle =0$если$z,z' \in B$а также$z\neq z'$, т.е.$B$ортонормированная система ;

(2) если$\langle x | z \rangle =0$для всех$z\in B$тогда$x=0$(т.е.$B$максимально по требованию ортогональности).

Базисы Гильберта также называют полными ортонормированными системами (векторов).

Соответствующие свойства базисов Гильберта полностью охватываются следующей парой утверждений.

Предложение. Если$H$является (комплексным или вещественным) гильбертовым пространством и$B\subset H$является ортонормированной системой (не обязательно полной), то для любого$x \in H$множество неисчезающих элементов$\langle x| z \rangle$с$z\in B$не более чем счетно.

Теорема. Если$H$является (комплексным или вещественным) гильбертовым пространством и$B\subset H$является базисом Гильберта, то выполняются следующие тождества, где порядок, используемый при вычислении бесконечных сумм (фактически счетных сумм из-за предыдущего предложения), не имеет значения:

$$||x||^2 = \sum_{z\in B} |\langle x| z\rangle|^2\:, \qquad \forall x \in H\:,\qquad (3)$$

$$\langle x| y \rangle = \sum_{z\in B} \langle x|z \rangle \langle z| y\rangle\:, \qquad \forall x,y \in H\:,\qquad (4)$$

$$\lim_{n \to +\infty} \left|\left| x - \sum_{n=0}^N z_n \langle z_n|x \rangle \right|\right| =0\:, \qquad \forall x \in H \:,\qquad (5)$$

где$z_n$являются элементами в$B$с$\langle z|x\rangle \neq 0$.

Если ортонормированная система соответствует одному из трех вышеперечисленных требований, то она является базисом Хиберта.

Полнота _$B$означает здесь, что множество бесконечных линейных комбинаций элементов в$B$включает (фактически совпадают) все пространство$H$.

Примечания.

• Элементы базиса Гильберта линейно независимы (как для конечных, так и для бесконечных линейных комбинаций).

• Все гильбертовы пространства допускают соответствующие базисы Гильберта. В фиксированном гильбертовом пространстве все базы Гильберта имеют одинаковую мощность.

• Бесконечномерное гильбертово пространство сепарабельно (т. е. содержит плотное счетное подмножество) тогда и только тогда, когда оно допускает счетный гильбертов базис.

• Бесконечномерное гильбертово пространство также допускает базисы Гамеля, поскольку оно также является векторным пространством.

• В сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве базис Гильберта также является базисом Шаудера (обратное, вообще говоря, неверно).

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ.

• Такие тождества:

  $$\sum_n \phi_n(x) \phi_n^*(x') = \frac{1}{w(x)}\delta(x-x') \,\qquad (6)$$ остаться за свойством полноты гильбертова базиса в$L^2(X, w(x)dx)$: Тождество (6) есть не что иное, как формальная версия уравнения (4) выше. Однако такое тождество является вполне формальным и, вообще говоря, не имеет места, если$\{\phi_n\}$является гильбертовым базисом$L^2(X, w(x)dx)$(также потому, что значение$\phi_n$в$x$не имеет никакого смысла в$L^2$пространства, так как его элементы определены с точностью до множеств нулевой меры и$\{x\}$имеет нулевую меру). Это тождество иногда выполняется строго, если (1) функции$\phi_n$достаточно регулярны, и (2) идентичность понимается в смысле распределения , работая с достаточно гладкими тестовыми функциями, такими как${\cal S}(\mathbb R)$в$\mathbb R$.

• В$L^2(\mathbb R, d^nx)$пространствах все базы Гильберта счетны . Подумайте о базе собственных векторов оператора Гамильтона гармонического осциллятора в$L^2(\mathbb R)$(в$\mathbb R^n$можно использовать$n$размерный гармонический осциллятор). Однако, по существу, для практических вычислений удобно также говорить о формальных собственных векторах , например, оператора положения:$|x\rangle$. В таком случае,$x \in \mathbb R$так могло показаться, что$L^2(\mathbb R)$допускает также несчетные базы. Это ложь!$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$не является ортонормированным базисом. Это просто формальный объект , (очень) полезный в вычислениях. Если вы хотите сделать эти объекты строгими, вы должны представить пространство состояний как прямой интеграл по$\mathbb R$конечномерных пространств$\mathbb C$, или как оснащенное гильбертово пространство . Однако в обоих случаях$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$не является ортонормированным гильбертовым базисом. А также$|x\rangle$не принадлежит$L^2(\mathbb R)$.

• Базисов Гильберта недостаточно, чтобы сформулировать и доказать теорему о спектральном разложении для нормальных операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Нормальные операторы$A$те, кто проверяет$AA^\dagger= A^\dagger A$, унитарные и самосопряженные являются частными случаями. Однако понятия базиса Гильберта достаточно, чтобы сформулировать указанную теорему для нормальных компактных операторов или нормальных операторов, резольвента которых компактна. В этом случае спектр представляет собой чисто точечный спектр (с возможной точкой только в непрерывной части спектра). Это происходит, например, для оператора Гамильтона гармонического осциллятора. В общем случае для рассмотрения общего случая необходимо ввести понятие спектральной меры или PVM (проекторнозначная мера).

Полный набор – это четко определенное выражение.

Причина, по которой люди иногда различают полный ортонормированный набор (COS) и базис, заключается в том, что любой вектор можно записать как конечную линейную комбинацию элементов базиса (если вы используете базис в смысле линейной алгебры ). А для COS нужна бесконечная линейная комбинация.

Если вы используете базис в смысле Шаудера , оба определения эквивалентны.

Смотрите мой связанный вопрос .

Я считаю, что это просто вопрос словарного запаса. Вот как это происходит в математике:

Базис — это линейно независимый остовный набор векторного пространства, т. е. такой набор векторов, что любой вектор в пространстве однозначно выражается в виде конечной линейной комбинации.

В бесконечномерном гильбертовом пространстве такие базисы не так удобны: в силу теоремы Бэра о категориях базис должен быть несчетным.

Поэтому мы используем ортонормированные базисы (также известные как базисы Гильберта), которые представляют собой счетные наборы ортонормированных векторов, так что любой вектор может быть выражен как счетная линейная комбинация элементов ортонормированного базиса.

Для удобства мы опускаем «гильбертову»/«ортонормированную» и называем ее просто базисом; мы должны добавить «алгебраический» или «гамелевский» к истинному основанию, чтобы различить их.

--

То, что физики называют «полным набором состояний», на самом деле является тем, что математик называет «ортонормированным базисом».