Бесконечномерные векторные пространства против дуального пространства

Есть две концепции двойственности для векторных пространств.

Один из них — алгебраический двойственный , то есть набор всех линейных отображений. Именно, учитывая векторное пространство$V$над полем$\mathbb{K}$, алгебраический двойственный$V_{alg}^*$это множество всех линейных функций$\phi:V\to \mathbb{K}$. Это подмножество$\mathbb{K}^V$, множество всех функций из$V$к$\mathbb{K}$. Доказательство, которое вы можете увидеть на математическом переполнении, использует, грубо говоря, тот факт, что мощность$\mathbb{K}^V$строго больше мощности$\mathbb{K}$если$V$бесконечномерна и имеет по крайней мере ту же мощность, что и$\mathbb{K}$.

Таким образом, для алгебраических двойников двойственное к любому бесконечному векторному пространству имеет большую размерность, чем исходное пространство.

Другая концепция — это топологический двойник , который может быть определен только в топологических векторных пространствах (поскольку необходимо понятие непрерывности). Учитывая топологическое векторное пространство$T$, топологический двойник$T_{top}^*$есть множество всех непрерывных линейных функционалов (непрерывных относительно топологии$T$). Это собственное подмножество алгебраического двойственного, т.е.$T_{top}^*\subset T_{alg}^*$.

Для топологических двойников ограничение на непрерывные функционалы делает предыдущее утверждение ложным (т. е. существуют бесконечномерные топологические векторные пространства, топологические двойственные пространства которых имеют ту же размерность, что и исходное пространство).

Обычным примером являются гильбертовы пространства, где верна теорема Рисса о представлении (см. мой комментарий выше): любой объект топологического двойственного$H^*_{top}$гильбертова пространства$H$можно отождествить посредством изоморфизма с элементом$H$. Таким образом, гильбертово пространство и двойственное ему «одно и то же».

Однако обратите внимание, что топологический двойник всегда считается «больше (или, возможно, равным)», чем исходное пространство. Я очень неточен здесь, но я думаю, что следующий пример прояснит ситуацию. Подумайте о дистрибутивах$\mathscr{S}'(\mathbb{R})$. Это топологический двойник функций быстрого убывания$\mathscr{S}(\mathbb{R})$. Любой$f\in \mathscr{S}$изоморфно распределению в$\mathscr{S}'$, но обратное, очевидно, неверно: есть распределения, не являющиеся функциями (дельта Дирака), и вообще любые$L^p$-пространство мыслится как подмножество$\mathscr{S}'$(так$\mathscr{S}'$довольно «большой»).

Ограничившись только векторными пространствами без какой-либо дополнительной структуры, теорема верна.

Один из способов убедиться в этом — заметить, что любой член$f$двойственного пространства однозначно определяется значением, которое оно возвращает, действуя на основе$\{\psi_n\}$, сказать$f(\psi_n) = z_n$для комплексных чисел$z_n$. Затем$V^*$изоморфен$\mathbb{C}^\mathbb{N}$, множество последовательностей комплексных чисел. Это общеизвестный факт, что$\mathbb{R}^\mathbb{N}$не имеет счетной базы как векторное пространство над$\mathbb{R}$, и это просто распространить на$\mathbb{C}^\mathbb{N}$не имеющий счетной основы над$\mathbb{C}$. Если это не кажется интуитивным (например, вы переходите к размышлениям об «основе»,$\{(1,0,0,\ldots), (0,1,0,\ldots), \ldots\}$), ключ в том, что в необработанных векторных пространствах допускаются только конечные суммы; что бы вообще значило добавление бесконечного числа векторов без понятия сходимости?

Более физический аргумент против идеи о том, что комплексное сопряжение дает (основу) все члены$V^*$заключается в рассмотрении дельта-функций. Для некоторых$x_0$в промежутке рассмотрим "$\delta(x-x_0)$, "функция", которая интегрируется с$f \in V$возвращаться$f(x_0)$. В действительности,$\delta$является полноправным членом$V^*$, определяется$\delta(\psi_n) = \psi_n(x_0)$. Предполагать$\delta = a_1 \psi_{n_1}^* + \cdots + a_k \psi_{n_k}^*$можно было написать. Но потом$a_1^* \psi_{n_1} + \cdots + a_k^* \psi_{n_k}$была бы совершенно корректная конечная сумма синусов, комплексно сопряженная с дельта-«функцией» — явно бессмысленный результат. Кроме,