Когда установить величину постоянной в лагранжиане (уравнения геодезических)?

Я уже давно борюсь с этой проблемой, и я не могу понять, что мне разрешено делать или нет.

Рассмотрим следующее действие:

$$S = \int \sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{|ds|}\frac{dx^{\mu}}{|ds|}}|ds|$$

Теперь я хочу показать, что это дает знаменитое геодезическое уравнение, если мы выберем$|ds| = d\tau$, подходящее время. Я знаю, как проходит доказательство с вариацией S, но я хотел доказать это с помощью выражения Эйлера-Лагранжа, и именно так я пришел к корню моей проблемы.

Я знаю, что если мы выберем параметр, как указано ранее, у нас должно быть это

$$g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{|ds|}\frac{dx^{\mu}}{|ds|} = -1.$$ Очевидно, что мы не можем заменить это непосредственно в исходном уравнении для S, иначе мы будем иметь постоянный лагранжиан. Поэтому мой вопрос заключается в следующем: когда я могу эффективно установить $g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{|ds|}\frac{dx^{\mu}}{|ds|}$быть $-1$, не получая при этом неправильного результата? Действительно, позвольте мне написать шаги для уравнения Эйлера-Лагранжа:

$$\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial}{\partial U^{\alpha}}(\sqrt{-g_{\mu\nu}U^{\nu}U^{\mu}}) \right) = \frac{\partial}{\partial x^\alpha}(\sqrt{-g_{\mu\nu}U^{\nu}U^{\mu}})$$

$$\frac{d}{d\tau}\left(\frac{g_{\alpha \nu}U^{\nu}}{\sqrt{M}} \right) = \frac{\partial_{\alpha}g_{\mu\nu}}{2\sqrt{M}}U^{\mu}U^{\nu}$$

С

$$U^{\nu} = \frac{dx^{\nu}}{|ds|}$$ и $$M = -g_{\mu\nu}U^{\nu}U^{\mu}.$$

Теперь, в приведенном выше уравнении, если я установлю$M = 1$, то я нахожу уравнение геодезической. Позвольте мне перефразировать вопрос: почему я могу установить$M = 1$сейчас? Если бы я установил$M = 1$перед выполнением любого из$\frac{\partial}{\partial U^\nu}$или$\frac{\partial}{\partial x^\nu}$производные, я бы получил неправильный результат. Почему я могу установить$M=1$внутри$\frac{d}{|ds}$производная, но не внутри других? Надеюсь, я ясно выразился!