Дисперсионное уравнение для колебаний решетки: почему существует два, а не четыре решения?

Линейную цепочку двухатомных молекул можно смоделировать цепочкой молекул с разными коэффициентами упругости.$C_1$и$C_2$(см. рисунок)

Соответствующие уравнения движения:

$$M\ddot{u}=-c_1[u_n-v_n]-c_2[u_n-v_{n-1}] \\ M \ddot{v}=-c_1[v_n-u_n]-c_2[v_n-v_{n+1}]$$

Можно использовать Анзац$u=\epsilon_1 e^{i(kna-\omega t)}; v=\epsilon_2 e^{i(kna-\omega t)}$и получим следующую систему уравнений:

$$\epsilon_1(M\omega^2-c_1-c_2)+\epsilon_2(c_2e^{-ika}+c_1)=0 \\ \epsilon_1(c_1+c_2 e^{ika})+\epsilon_2(M\omega^2-c_2-c_1)=0$$

При условии, что определитель коэффициентов$\epsilon_1, \epsilon_2$исчезнет, ​​система будет иметь решение. Вычисление определителя и решение для$\omega$дает:

$$\omega^2=\frac{c_+c_2}{M} \pm \frac{1}{M}\sqrt{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2 \cos ka}$$

(Идентичный вывод можно найти у Эшкрофта/Мермина, Физика твердого тела, стр. 433-435)

В Эшкрофте/Мермине соотношение дисперсии рисуется следующим образом:

Верхняя ветвь — это оптическая ветвь, а нижняя ветвь — это акустическая ветвь.

Мой вопрос:

1. Почему две ветки, а не четыре? Если мы посмотрим на дисперсионное соотношение $$\omega^2=\frac{c_+c_2}{M} \pm \frac{1}{M}\sqrt{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2 \cos ka}$$

затем "$\pm$"уже дает два решения. Но авторы графически$\omega$и не$\omega^2$. Не приведет ли это к

$$\omega=\pm \sqrt{\frac{c_+c_2}{M} \pm \frac{1}{M}\sqrt{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2 \cos ka}}$$

что означало бы четыре решения?