Почему дисперсионное уравнение для линейной цепочки атомов (соединенных пружинами) может быть записано как ω(k)=cs|k|ω(k)=cs|k|\omega(k)=c_s \lvert k\rvert?

Спасибо. Это дало бы мне: $$a \sqrt{\frac{K}{M}} \lvert k\rvert$$ хотя. я не понимаю, как $a \sqrt{\frac{K}{M}}$можно аппроксимировать как $c_s$. $a$- расстояние между двумя атомами в решетке, $K$постоянная весны и $M$масса.

$$c_s$$ это просто скорость звука, которая связывает (в вашем линейном дисперсионном соотношении) частоту с импульсом. Итак, это просто скорость звука по определению.

Чтобы уточнить, что qmd, Квантовая механика сказала, скорость звука определяется либо «фазовой скоростью», $\omega/k$, или "групповая скорость", $d\omega / d k$. В любое время $\omega=Ak$для некоторых $A$, можно видеть, что групповая скорость и фазовая скорость совпадают и обе равны $A$.

@LubošMotl Просто для пояснения: дисперсия возникает, когда групповая скорость отличается от фазовой скорости, верно? Так, $\omega(k)=ak$выполняется только в том случае, если групповая скорость равна фазовой скорости? В моем примере $\omega$и $\frac{d\omega}{d k}$имеют одинаковую скорость, насколько я могу видеть, поэтому нет дисперсии, и я могу написать $\omega=c_sk$. Единственное, чего я не понимаю, это то, как я могу просто заменить $a \sqrt{\frac{K}{M}}$с $c_s$?

Да, $\omega=Ak$выполняется тогда и только тогда, когда групповая скорость равна фазовой, и это также эквивалентно отсутствию дисперсии, т. е. отсутствию зависимости какой-либо скорости от $k$или эквивалентно на $\omega$. Вы можете заменить $a\sqrt{K/M}$к $c_s$например, используя клавишу удаления несколько раз (на ПК), или используя резинку на карандаше, а затем написав $c_s$в то место, которое вы опустошили, или еще раз написав уравнение с $c_s$вместо предыдущей формы коэффициента. Дело в том, что они равны по определению $c_s$так что вам разрешено это делать.

Проблема, с которой вы столкнулись, должна быть чем-то довольно простым, поэтому позвольте мне заранее сказать, что предложение «они равны» также может быть записано математически как $c_s = a\sqrt{K/M}$, и поэтому вы можете заменить одно другим, верно? Это тождество может быть получено из $c_s=\omega / k$, определение фазовой скорости, если подставить $\omega = a\sqrt{K/M} k$для $\omega$. Все еще проблема?

@LubošMotl Спасибо за шутливое объяснение (думаю, мне нужна была эта пощечина). ;) Теперь это имеет смысл. я просто не видел как $a \sqrt{\frac{K}{M}}$может быть скорость, но модульный анализ: $$[m]\sqrt{\frac{[kg]}{[kg][s^2]}}=\frac{[m]}{[s]}$$ проверяет. Кроме того, просто взглянув на определение дисперсионного соотношения $\omega=v_p k$это имеет смысл, почему $v_p=c_s$по определению. Не знаю, почему я не мог этого увидеть раньше. Спасибо, Любош, и спасибо, Квантовая Механика!

Отличный результат. Единицы должны были быть одинаковыми, чтобы коэффициент претендовал на $c_s$или заменить на $c_s$, в противном случае исходное уравнение было бы неправильно по размерности. Более широкий урок заключается в том, что существуют различные формулы для расчета скоростей. Например, скорость света можно вычислить из элементарных коэффициентов $\epsilon_0,\mu_0$которые проявляются в законах статической электрической и магнитной силы как $c=1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$. Существует также множество других примеров, когда вещи зависят от материальных констант и т. д.