Уравнение 7.227.227.22 в Peskin & Schroeder: запись преобразования Фурье двухточечной функции в виде серии диаграмм 1PI

Цель состоит в том, чтобы найти одночастичный пропагатор при наличии взаимодействий. Этот пропогатор будет суммой всех диаграмм, имеющих две внешние вершины.

Эту сумму диаграмм было бы трудно вычислить, но оказалось, что эту большую сумму диаграмм легко записать в терминах суммы меньшего набора диаграмм: набора диаграмм «одна частица неприводима» (1PI). Диаграмма 1PI — это диаграмма, которую нельзя разделить на две непересекающиеся диаграммы путем разрезания одного ребра пропагатора.

Чтобы понять, почему это так, мы понимаем, что любую диаграмму можно однозначно «распутать» в конечную последовательность диаграмм 1PI. Это означает, что множество всех диаграмм содержится в множестве последовательностей диаграмм 1PI.

С другой стороны, очевидно, что любая последовательность диаграмм 1PI является диаграммой. Таким образом, множество всех последовательностей диаграмм 1PI находится в множестве всех диаграмм.

Таким образом, мы заключаем, что просмотр всех конечных последовательностей диаграмм 1PI аналогичен просмотру всех диаграмм.

Теперь, когда мы смотрим на суммы диаграмм 1PI, мы замечаем, что сумма факторов: предположим, ради аргумента, что$x$,$y$, и$z$были единственными диаграммами 1PI. Тогда наша сумма последовательностей диаграмм 1PI будет выглядеть так$1+x+y+z+xx+xy+xz+yx+yy+yz+zx+zy+zz+xxx+\cdots$. Теперь обратите внимание, что это влияет на$1+(x+y+z)+(x+y+z)^2+\cdots$. Ключевым моментом здесь является то, что сумма всех длин$n$последовательности диаграмм 1PI - это$n$-я степень суммы всех диаграмм 1PI. Это потому, что когда вы строите длину$n$последовательность диаграмм 1PI, вы просто выбираете диаграмму 1PI для первой и другую для второй и так далее. Это то же самое, что происходит, когда вы вычисляете степень суммы диаграмм 1PI.

Следующим шагом в основном является признание того, что$1+(x+y+z)+(x+y+z)^2+\cdots$представляет собой геометрический ряд. После того, как вы суммируете этот ряд, у вас есть формула для взаимодействующего пропагатора с точки зрения суммы только диаграмм 1PI, как это необходимо. Это уравнение 7.23 в Пескин