Запрещает ли теорема Хаага эволюцию во времени?

Ответ — нет, теорема Хаага не предотвращает временную эволюцию в картине Гейзенберга.

Для любого представления и любого унитарного преобразования применение последнего к первому дает унитарно эквивалентное представление. И четко определенные унитарные представления существуют, если мы используем четко определенную формулировку для начала. В частности, при заданной корректной формулировке с гильбертовым пространством, алгеброй локальных операторов и гамильтонианом$H$, мы можем использовать унитарный оператор эволюции во времени$U(t)=\exp(-iHt)$без проблем. Теорема Хаага говорит, что если мы начнем с вакуумного представления в свободной скалярной модели, то никакое унитарное преобразование не сможет дать вакуумное представление взаимодействующей скалярной модели — по крайней мере, при работе с бесконечным объемом и т. д.; некоторые предостережения выделены ниже. Таким образом, картина взаимодействия не работает, по крайней мере, не с точки зрения операторов, действующих на векторы состояния, опять же с некоторыми оговорками, выделенными ниже.

Что говорит теорема Хаага?

Для справки, вот как теорема Хаага выражена на странице 12 в «Теореме Хаага в перенормированных квантовых теориях поля» ( https://arxiv.org/abs/1602.00662 ):

Теорема Хаага. Если скалярное квантовое поле унитарно эквивалентно свободному скалярному квантовому полю, то в силу теоремы реконструкции оно также является свободным полем, поскольку все значения вакуумного среднего совпадают.

Вот как это более точно выражено на стр. 49 той же статьи:

Теорема 11.7 (теорема Хаага). Позволять$\varphi$и$\varphi_0$— два эрмитовых скалярных поля массы$m\geq 0$в смысле структуры Вайтмана. Предположим, что жесткие ограничения по времени$\varphi(t,f)$и$\varphi_0(t,f)$существуют и что в то время$t = 0$эти два поля точного времени образуют неприводимое множество в соответствующих гильбертовых пространствах.${\cal H}$и${\cal H}_0$. Кроме того, пусть существует изоморфизм$V:{\cal H}_0\rightarrow {\cal H}$такой, что в свое время$t$,$\varphi(t,f)=V\varphi_0(t,f)V^{-1}$. Затем$\varphi$также является свободным полем масс$m\geq 0$.

(предполагаю, что$\varphi_0$обозначает свободное поле.) Обратите внимание, что эти формулировки теоремы Хаага характерны для скалярных полей. Насколько мне известно, теорема никогда не обобщалась на модели с калибровочными полями.

Ни один из приведенных выше отрывков не говорит ничего, что противоречило бы эволюции во времени в картине Гейзенберга. Свободное скалярное поле остается свободным (с той же массой) при эволюции во времени, а взаимодействующее скалярное поле остается взаимодействующим (с той же массой и константами связи) при эволюции во времени. Итак, теорема Хаага не запрещает эволюцию во времени.

Однако, согласно этим выдержкам, теорема Хаага действительно подразумевает, что скалярное поле не может сначала стать свободным, а затем стать взаимодействующим (или наоборот), поэтому она подразумевает, что картина взаимодействия не работает — по крайней мере, она не работает при строгие условия теоремы (которые я здесь не копировал), включая строгую симметрию Пуанкаре.

Теорема 17.1 в той же статье подчеркивает родственный результат, который автор называет «теоремой Хаага для свободных полей». Теорема утверждает, что две модели свободных скалярных полей с разными массами не могут быть унитарно эквивалентны друг другу.

Кстати, теорему Хаага можно считать неактуальной на практике по двум причинам:

• Единственные известные математически четко определенные конструкции большинства${}^{[1]}$взаимодействующие КТП предполагают рассмотрение пространства (или пространства-времени) как конечной решетки, но теорема Хаага опирается на симметрию Пуанкаре или, по крайней мере, на предел бесконечного объема.

• Четко определенные конструкции на основе решеток в любом случае не используют картину взаимодействия.

Обычно мы не используем решетчатую формулировку явно (потому что это запутанно), но это важно с точки зрения современного взгляда на перенормировку. Мы можем думать об обычных плохо определенных пертурбативных вычислениях как об удобном сокращении для беспорядочных, но четко определенных вычислений на конечной решетке. С этой точки зрения теорема Хаага по существу становится неактуальной. Аналогичные настроения были высказаны в другом посте о теореме Хаага .

${}^{[1]}$В комментарии Абдельмалек Абдесселам указал, что есть исключения: «Есть модели (в 2d и 3d), построенные в континууме и удовлетворяющие инвариантности Пуанкаре».