В каком смысле правильное/эффективное действие Γ[ϕc]Γ[ϕc]\Gamma[\phi_c] является квантово-скорректированным классическим действием S[ϕ]S[ϕ]S[\phi]?

Мы хотим вычислить интеграл по путям

$$Z = \int \mathcal{D}{\phi}\, e^{i \hbar^{-1} S[\phi]}$$ который кодирует амплитуду перехода между начальным и конечным квантовыми состояниями.

Если бы у нас были эффективные действия$\Gamma[\phi]$в нашем распоряжении, мы бы вычислили тот же результат, решив для

$$\phi_c(x):\quad \left. \frac{\delta \Gamma}{\delta \phi} \right|_{\phi=\phi_c} = 0$$ и подключив его обратно к эффективному действию: $$Z = e^{i \hbar^{-1} \Gamma[\phi_c]}.$$

Это определение$\Gamma$.

Обратите внимание, что в этой точке интегралы по траекториям не требуются. В этом ответе неявно присутствуют граничные условия, кодирующие точные состояния, между которыми происходит квантовый переход. Их существование гарантирует, что существует только одно решение$\phi_c$.

Теперь почему$\phi_c$называется классической : она решает задачу, заданную действием$\Gamma$.

Думать о$\Gamma$как объекта, в котором все мелкомасштабные свойства интегрирования измеряются$\mathcal{D}\phi$(включая вопросы, связанные с перенормировкой) уже учтены. Вы просто решаете eom и подставляете решение к экспоненте, и все готово: вот ваша амплитуда перехода.

Что, как говорится,$\Gamma$не является классической в ​​том смысле, что она по-прежнему описывает динамику квантовой теории. Только в другом образе. Простые алгебраические манипуляции вместо интегралов по путям.

Наконец, обратите внимание, что если интеграл по путям является гауссовским,

$$\Gamma[\phi] = S[\phi] + \text{const},$$ где $\text{const}$учитывает постоянную нормализации интеграла по путям. Квантовых поправок нет.

Однако в классической теории мы решаем eomwrt$\phi = \phi_c$для$S[\phi]$, нет$\Gamma[\phi]$. Подключите его обратно к$S[\phi_c]$дает нам функцию Гамильтона. Когда интеграл по путям является гауссовским, не имеет значения, используем ли мы$S$или$\Gamma$, а возведение в степень функции Гамильтона дает вам амплитуду перехода. Однако, если мы имеем дело с теорией взаимодействия, правильным способом сделать это будет использование$\Gamma$вместо$S$. В этом смысле,$\Gamma$является квантово-скорректированной версией$S$.

И да, всегда верно (можно показать с помощью формулы аппроксимации седловой точки), что

$$\Gamma[\phi] = S[\phi] + \mathcal{O}(\hbar).$$

Почему бы нам просто не использовать$\Gamma[\phi]$определить квантовую теорию и забыть о$S[\phi]$все вместе? Потому что$\Gamma$не является локальным и содержит бесконечно много настраиваемых параметров . Их можно определить по форме$S[\phi]$с помощью квантования. Вот почему это$S[\phi]$которая определяет теорию, а не$\Gamma$.$\Gamma$вычисляется через интегралы по траекториям.

ОБНОВЛЕНИЕ: Также важно понимать, что в наивной QFT$\Gamma$содержит расходимости, а$S$нет. Однако реальная ситуация противоположна. Это$S$который содержит расходимости (расходящиеся голые связи), которые нейтрализуют расходимости, возникающие из интеграла по путям, что делает конечным (т.е. перенормированным)$\Gamma$. Что$\Gamma$должно быть конечным, видно из того, как мы используем его для вычисления физических свойств: мы только решаем eom и подставляем результат обратно в$\Gamma$.

Собственно, весь смысл перенормировки в том, чтобы сделать$\Gamma$конечным и четко определенным при настройке только конечного числа расходящихся связей в голом действии$S$.

Уже есть хороший ответ от Solenodon Paradoxus. Здесь мы приводим формальное доказательство (через приближение стационарной фазы/ВКБ).

1. Чтобы исправить обозначение, мы определяем эффективное/правильное действие 1PI

   $$\Gamma[\phi_{\rm cl}]~=~W_c[J]-J_k \phi_{\rm cl}^k, \tag{1}$$ как преобразование Лежандра производящего функционала$W_c[J]$для связных диаграмм. Мы предполагаем, что преобразование Лежандра регулярно, т. е. формула $$\begin{align} \phi_{\rm cl}^k~=~&\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} \cr \Updownarrow~& \cr J_k~=~&-\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k}\end{align} \tag{2}$$ обратим. Здесь$J_k$являются источниками и$\phi_{\rm cl}^k$являются так называемыми классическими полями. (Последняя терминология немного неверна, т.к.$\phi_{\rm cl}^k[J]$в зависимости от источников$J_{\ell}$может явно зависеть от$\hbar$. См. также раздел 8 ниже.)

2. Статистическая сумма / интеграл по пути

   $$\begin{align} \exp&\left\{ \frac{i}{\hbar} W_c[J]\right\}\cr ~=~&Z[J]\cr ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_k \phi^k\right)\right\} . \end{align}\tag{3}$$ Первое равенство в уравнении (3) — теорема о связанных кластерах , ср. например, этот пост Phys.SE.

3. В этом месте принято упоминать некоторые элементарные факты. 1-точечная функция/квантовое усредненное поле по определению

   $$\begin{align} \langle \phi^k \rangle_J ~:=~&\frac{1}{Z[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_{\ell} \phi^{\ell}\right)\right\}\cr ~=~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i} \frac{\delta }{\delta J_k}\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_{\ell} \phi^{\ell}\right)\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i}\frac{\delta Z[J]}{\delta J_k}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} ~\stackrel{(2)}{=}~\phi_{\rm cl}^k. \end{align} \tag{4}$$

4. Двухточечная функция по определению

   $$\begin{align} \langle \phi^k \phi^{\ell}\rangle_J ~:=~&\frac{1}{Z[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\phi^{\ell}\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_m \phi^m\right)\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \left(\frac{\hbar}{i}\right)^2\frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell}}~\cr \stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J_k} \left(Z[J]\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_{\ell}}\right)\cr ~\stackrel{(4)}{=}~&\frac{\hbar}{i} \frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell}} + \langle \phi^k \rangle_J \langle \phi^{\ell} \rangle_J,\end{align} \tag{5}$$ т.е. связанная 2-точечная функция плюс несвязанная часть.

5. Теперь вернемся к вопросу ОП. Формальным обратным преобразованием Фурье континуального интеграла (3) получаем

   $$\begin{align} \exp&\left\{ \frac{i}{\hbar}S[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{J}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(W_c[J]-J_k \phi_{\rm cl}^k\right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 W_c[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_k \delta J_{\ell}}\right)^{-1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \cr ~\stackrel{(8)}{=}~& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right)^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0 \end{align} \tag{6}$$ в приближении стационарной фазы/ВКБ $J_k=J_k[\phi_{\rm cl}]+\sqrt{\hbar}\eta_k$. В последнем равенстве уравнения (6), мы использовали это $$\begin{align}\delta^k_{\ell} ~=~&\frac{\delta \phi_{\rm cl}^k[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}}\cr ~=~&\frac{\delta \phi_{\rm cl}^k[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_m} \frac{\delta J^m[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}} \cr ~\stackrel{(2)}{=}~& -\frac{\delta^2 W_c[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_k\delta J_m} \frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^m\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}},\end{align} \tag{7}$$ то есть

   $$\begin{align}&\text{The 2-pt functions }\cr & \frac{1}{i}\frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_m} \text{ and } \frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^m\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}}\cr& \text{ are inverses of each other.} \end{align}\tag{8}$$

6. Будем считать, что действие$S$не имеет явного$\hbar$-зависимость. Эффективное действие$\Gamma[\phi_{\rm cl}]=\sum_{n=0}^{\infty}\Gamma_n[\phi_{\rm cl}]$становится$\hbar$/цикл-расширение . уравнение (6) показывает, что эффективное действие

   $$\begin{align} \Gamma[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(6)}{=}~& S[\phi_{\rm cl}] +\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right) +{\cal O}(\hbar^2) \tag{9} \cr ~\stackrel{(9)}{=}~& S[\phi_{\rm cl}] +\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}]\right) +{\cal O}(\hbar^2) \tag{10}\end{align}$$ согласен с действием$S$вплоть до квантовых поправок. В уравнении (10) мы определили гессиан $$H_{k\ell}[\phi]~:=~ \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^k\delta\phi^{\ell}}. \tag{11}$$ (Квадратный корень в уравнении (6) вносит свой вклад только в одном контуре и далее.)

   Другими словами, мы выводим это к нулевому порядку в$\hbar$/древовидные диаграммы в действующем действии

   $$\text{Tree-level}:~~ \Gamma_0[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(9)}{=}~S[\phi_{\rm cl}] \tag{12}$$

   равно действию$S$сам. Точно так же мы выводим это к первому порядку в$\hbar$/одноконтурные схемы в эффективном действии

   $$\text{1-loop}:~~ \Gamma_1[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(10)}{=}~\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}] \right) \tag{13}$$

   равен функциональному определителю гессиана действия$S$. уравнения (10), (12) и (13) отвечают на вопрос ОП. См. также соответствующий пост Phys.SE.

7. В этом месте принято упоминать некоторые элементарные факты. Пусть заданы фиксированные источники$J_k$. От$^1$

   $$\begin{align} \frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k} ~\stackrel{(2)}{=}~~&-J_k\cr ~\stackrel{\text{EL eqs.}}{\approx}& \frac{\delta S[\phi_0]}{\delta \phi^k} \cr ~=:~~&E_k[\phi_0], \end{align} \tag{14}$$ получаем, что так называемое классическое решение$\phi_{\rm cl}^k$и решение Эйлера-Лагранжа (EL)$\phi_0^k$соглашаться$^1$ $$\phi_{\rm cl}^k[J]~\stackrel{(9)+(14)}{\approx}~\phi_0^k[J] +{\cal O}(\hbar) \tag{15}$$ вплоть до квантовых поправок. уравнение (15) оправдывает практику вызова$\phi_{\rm cl}^k$классическое поле. (Мы предполагаем, что каждое решение уравнения (14) уникально из-за соответствующих граничных условий. Для простоты мы исключили инстантоны.)

   И наоборот, если нам дано$\phi_{\rm cl}$, мы можем рассмотреть соответствующий сдвинутый источник

   $$\begin{align} J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}]~:=~&E_k[\phi_{\rm cl}]+J_k[\phi_{\rm cl}]\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{\delta S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}} -\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}}\cr ~\stackrel{(12)}{=}~&-\frac{\delta \Gamma_{>0}[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}} ~=~{\cal O}(\hbar). \end{align}\tag{16}$$

8. В качестве альтернативы, из метода фонового поля

   $$\underbrace{\phi^k}_{\text{quan. field}} ~=~\overbrace{\underbrace{\phi^k_{\rm cl}}_{\text{clas. field}}}^{\text{backgr. field}}+\underbrace{\eta^k}_{\text{fluctuation}}, \tag{17}$$ эффективное действие (1) принимает вид $$\begin{align}\exp&\left\{\frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{(1)+(3)}{=}& \int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left(S[\phi] +J_k[\phi_{\rm cl}](\phi^k-\phi^k_{\rm cl}) \right) \right\} \cr ~\stackrel{(17)}{=}~& \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left(S[\phi_{\rm cl}+\eta] +J_k[\phi_{\rm cl}] \eta^k \right)\right\} \cr ~=~& \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left( S[\phi_{\rm cl}] +\underbrace{\left(E_k[\phi_{\rm cl}] +J_k[\phi_{\rm cl}]\right)}_{={\cal O}(\hbar)} \eta^k +\frac{1}{2}\eta^k H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}] \eta^{\ell} +{\cal O}(\eta^3) \right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}] \right)^{-1/2}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_{\rm cl}] -\frac{1}{2}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right)\right\} \cr ~\stackrel{(2)+(15)}{=}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}]\right)^{-1/2}\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}S[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0 \end{align} \tag{18}$$ в приближении стационарной фазы/ВКБ $$\eta^k~=~ -(H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}]J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] + \underbrace{{\cal O}(\sqrt{\hbar})}_{\text{fluctuation}}.\tag{19}$$ уравнение (18) снова приводит к искомому уравнению. (10).

9. В более общем случае, если мы разделим действие

   $$S[\phi]~=~ \underbrace{E_k[\phi_{\rm cl}]\eta^k}_{\text{linear part}} + \underbrace{\frac{1}{2}\eta^k H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}]\eta^{\ell}}_{\text{quadratic part}} +\underbrace{S_{\neq 12}[\phi_{\rm cl},\eta]}_{\text{the rest}}, \tag{20}$$ тогда эффективное действие читается для всех ордеров $$\begin{align}\exp&\left\{\frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}]\right)^{-1/2} \cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 12}\left[\phi_{\rm cl},\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J_k[\phi_{\rm cl}]} \right]\right\} \cr &\exp\left\{ -\frac{i}{2\hbar}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right\}\end{align}\tag{21}$$ после интегрирования по Гауссу. Следует, что $$\begin{align}\frac{i}{\hbar}&\Gamma_{>1}[\phi_{\rm cl}]\cr ~\stackrel{(12)+(13)+(21)}{=}& \ln\left(\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 012}\left[\phi_{\rm cl},\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J_k[\phi_{\rm cl}]} \right]\right\}\right. \cr &\left. \exp\left\{ -\frac{i}{2\hbar}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right\}\right)\end{align}\tag{22}$$ сумма всех связных диаграмм, составленных из пропагаторов$-(H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}]$; сдвинутые внешние источники$J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}]$; и$\eta$-вершины с$\geq 3$ $\eta$-ноги.

   После замены$J^{>0}_k[\phi_{\rm cl}]=-\delta \Gamma_{>0}[\phi_{\rm cl}]/\delta \phi_{\rm cl}^k$на правой стороне ур. (22) через соотношение (16), то можно показать, что уравнение (22) становится рекуррентным соотношением всего порядка для эффективного действия$\Gamma[\phi_{\rm cl}]$.

--

$^1$ The $\approx$символ означает здесь равенство по модулю уравнений Эйлера-Лагранжа (EL) .

Очевидно,$\phi(x)$отличается от$\phi_c(x)$. Первое — это классическое поле классической теории поля, второе — просто величина, входящая в преобразование Лежандра производящего функционала для связных функций Грина. Просто случается, что для классических действий, которые можно рассматривать как возмущения вокруг квадратичных действий, уравнения, которым удовлетворяет$\phi_c(x)$совпадают с таковыми$\phi(x)$в классической теории поля, на пределе$\hbar\rightarrow 0$.

Кроме наводящего на размышления названия, квантово-классического соответствия также нет:$\phi_c(x)$не является ожидаемым значением поля$\hat{\phi}(x)$при наличии внешнего источника (выраженного в терминах правильно определенных вероятностей). Это не имеет смысла как квазиклассическая наблюдаемая.

Кроме того, эффективное действие нелокально и, следовательно, не порождает никакой эффективной квазиклассической динамики. Эффективное действие является только генератором для функций Грина, имеющих отношение к вычислению элементов S-матрицы.