Определяющее квантовое эффективное/собственное действие (преобразование Лежандра), существование обратного (поля-источника)?

1. Если рассматривать производящий функционал$W_c[J]$для связных диаграмм как формальный степенной ряд в источниках$J_i$, а если связный пропагатор$^1$

   $$\begin{align} \langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle^c_J~=~& \frac{\hbar}{i}\frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell} }\cr ~=~&\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle_J-\langle \phi^k \rangle_J \langle \phi^{\ell} \rangle_J\end{align} \tag{1}$$ обратим в _$J=0$, то эффективное/правильное действие $$\Gamma[\phi_{\rm cl}]~=~W_c[J]-J_k \phi^k_{\rm cl} \tag{2}$$ существует как формальный степенной ряд по преобразованной переменной Лежандра$\phi_{\rm cl}$. В частности, обращение формального степенного ряда $$\phi^k_{\rm cl}~=~\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} ~=~ \langle \phi^k \rangle_J\tag{3}$$ затем следует из многовариантного обобщения теоремы обращения Лагранжа .

2. Конкретно, до низших порядков, если расширить

   $$\begin{align} W_c[J]~=~&W_{c,0} ~+~J_k W_{c,1}^k ~+~\frac{1}{2}J_k W_{c,2}^{k\ell}J_{\ell}\cr ~+~&\frac{1}{6} W_{c,3}^{k\ell m}J_k J_{\ell} J_m ~+~{\cal O}(J^4), \end{align}\tag{4}$$ мы рассчитываем $$\begin{align} \Delta\phi^k_{\rm cl} ~:=~& \phi^k_{\rm cl}~-~ W_{c,1}^k\cr ~\stackrel{(3)+(4)}{=}&~W_{c,2}^{k\ell}J_{\ell}~+~\frac{1}{2} W_{c,3}^{k\ell m} J_{\ell} J_m ~+~{\cal O}(J^3),\end{align} \tag{5}$$ чтобы $$\begin{align} J_k~\stackrel{(5)}{=}~&(W^{-1}_{c,2})_{k\ell}\left(\Delta\phi^{\ell}_{\rm cl}~-~\frac{1}{2}\Delta\phi^p_{\rm cl} (W^{-1}_{c,2})_{pm} W_{c,3}^{m\ell n}(W^{-1}_{c,2})_{nq}\Delta\phi^q_{\rm cl} \right)\cr ~+~&{\cal O}(\Delta\phi^3_{\rm cl}).\end{align}\tag{6}$$ Пертурбативно преобразование Лежандра становится $$\begin{align} \Gamma[\phi_{\rm cl}]~\stackrel{(2)+(4)+(6)}{=}& W_{c,0} ~-~\frac{1}{2}\Delta\phi^k_{\rm cl} (W^{-1}_{c,2})_{k\ell}\Delta\phi^{\ell}_{\rm cl}\cr ~+~&\frac{1}{6} W_{c,3}^{k\ell m}(W^{-1}_{c,2})_{kp}(W^{-1}_{c,2})_{\ell q}(W^{-1}_{c,2})_{mr}\Delta\phi^p_{\rm cl}\Delta\phi^q_{\rm cl}\Delta\phi^r_{\rm cl} \cr ~+~&{\cal O}(\Delta\phi^4_{\rm cl}),\end{align}\tag{7}$$ и так далее.

3. Точно так же, пертурбативно, обратное преобразование Лежандра становится

   $$\begin{align} W_c[J]~\stackrel{(2)+(9)}{=}& \Gamma_0 ~-~\frac{1}{2}\Delta J_k (\Gamma^{-1}_2)^{k\ell}\Delta J_{\ell}\cr ~-~&\frac{1}{6} \Gamma_{3,k\ell m}(\Gamma^{-1}_2)^{kp}(\Gamma^{-1}_2)^{\ell q}(\Gamma^{-1}_2)^{mr}\Delta J_p\Delta J_q\Delta J_r\cr ~+~&{\cal O}(\Delta J^4),\end{align}\tag{8}$$ и так далее, где $$\Delta J_k~:=~ J_k~+~ \Gamma_{1,k}.\tag{9}$$

4. На этом кажется естественным закончить следующим полезным предложением.

   Предложение. Если$^2$

   $$\langle \phi^k \rangle_{J=0}~=~0,\tag{10}$$

   или эквивалентно, если

   $$W^k_{c,1}~=~0,\tag{11}$$

   тогда:

   • Полная двухточечная функция равна полной связной двухточечной функции:

     $$\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle_{J=0}~=~\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle^c_{J=0}~=~\frac{\hbar}{i}G_c^{k\ell},\tag{12}$$ ср. экв. (1).

   • $$\Gamma_{1,k}~=~0,\tag{13}$$ ср. экв. (7).

   • $$-(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}~=~(W_{c,2})^{k\ell}~=~G_c^{k\ell}\tag{14}$$ — полносвязный пропагатор, ср. экв. (8).

   • Там нет головастиков$^3$в том смысле, что если один разрез разрезает связную диаграмму на 2 части, то обе части содержат$J$- источники, см . например, Srednicki, QFT , глава 9, с. 67. Это следует из того, что (сумма всех возможных) связных диаграмм есть (сумма всех возможных) деревьев полных пропагаторов и (ампутированных) 1PI вершин, ср. этот пост Phys.SE.

   • В частности, связные вакуумные диаграммы$W_{c,0}=\Gamma_0$все диаграммы 1PI, ср. экв. (8).

   • В частности, собственная энергия

     $$\Sigma~=~G_0^{-1}-G_c^{-1},\tag{15}$$ [который в целом состоит из соединенных диаграмм с 2 ампутированными ногами, так что 2 ноги нельзя разъединить, перерезав одну внутреннюю линию] теперь состоит только из диаграмм 1PI.

   • Эффективное действие Вильсона $W_{c,\rm int}[J\!=\!0,\phi_L]$состоит$^4$только условия действия 1PI.

--

$^1$Мы используем сокращенную запись ДеВитта, чтобы не загромождать запись. См. также, например , этот связанный пост Phys.SE.

$^2$Это стандартное условие перенормировки. В силу сохранения импульса

$$\langle \widetilde{\phi}(k) \rangle_{J=0}~=~\widetilde{W}_{c,1}(k)~~\propto~~\delta^4(k) \tag{16}$$ автоматически удовлетворяется.

$^3$Имейте в виду, что приведенное выше понятие диаграмм головастиков не то же самое, что диаграммы замкнутой петли, ср. Википедия .

$^4$Условие перенормировки (11) в этой ситуации имеет вид

$$0~=~\langle \phi^k_H \rangle_{J=0,\phi_L}~=~\left. \frac{\delta W_c[J,\phi_L]}{\delta J_k}\right|_{J=0}.\tag{17}$$ Условие перенормировки (17) должно выполняться для всех значений фонового поля$\phi_L$. Обратите внимание, что$\phi_H$термины головастика$\phi_L\ldots\phi_L\phi_H$кинематически подавляются в вильсоновском эффективном действии. Условие перенормировки (17) согласуется с потоком ренормализационной группы. Это связано с точным уравнением потока ренормализационной группы Полчинского (ERGE), $$\frac{d W^k_{1,c}}{d\Lambda}~\propto~\ldots \underbrace{\frac{\delta W^k_{1,c}}{\delta\phi_L}}_{=0} +\ldots \underbrace{\frac{\delta^2 W^k_{1,c}}{\delta\phi_L^2}}_{=0}~=~0,\tag{18}$$ ср. например, мой ответ Phys.SE здесь .

Это интересный вопрос, и хотя я не знаю точного ответа, мы можем обсудить некоторые типичные случаи.

Обычно инверсия существует, но случаи, когда эта инверсия не существует, не обязательно являются патологическими (в звуковых моделях может быть проблема, что инверсия не существует).

Для стандартных теорий поля (скажем,$\phi^4$, O(N) моделей, моделей классических спинов,...), в общем случае существует обратное, и это можно показать по порядку в циклическом разложении (я не знаю, было ли это доказано во всем порядке, но в стандартные учебники, это показано в порядке 1 или 2). Однако обратное не обязательно будет существовать для всех$\phi_{cl}$, особенно в фазах с нарушенной симметрией. Действительно, упорядоченная фаза характеризуется

$$\bar\phi_{cl}=\lim_{J\to 0 } \phi_{cl}[J]=\lim_{J\to 0 }W'[J]\neq 0 ,$$ куда $\bar \phi_{cl}$– равновесное значение параметра порядка. Следовательно, вы не можете обратить отношение $\phi_{cl}[J]$за $\phi_{cl}\in [0,\bar \phi_{cl}]$( $\phi_{cl}[J]$обычно увеличивается, когда $J$увеличивается).

Кроме того, бывают случаи, когда обратное просто не определено, потому что$\phi_{cl}[J]={\rm const}$для всех$J$. Обычно это бывает, когда поле не имеет самостоятельной динамики без источника. Например, если взять одиночный квантовый спин при нулевой температуре, единственная динамика определяется внешним магнитным полем (здесь в$z$направление)

$$\hat H= -h.\sigma_z.$$ С $h>0$, основное состояние всегда $|+\rangle$, и "классическое поле" $\phi_{cl}(h)=\langle \sigma_z\rangle=1/2$для всех $h$, и свободная энергия Гиббса (преобразование Лежандра свободной энергии относительно $h$, что по существу является эффективным действием) не существует.