Докажите: AAA и BBB коммутируют, поэтому функции f(A)f(A)f(A) и g(B)g(B)g(B) всегда будут коммутировать друг с другом [закрыто]

Как я/могу ли я на самом деле доказать родство

[ а , б ] "=" 0 ⇒ [ ф ( а ) , г ( б ) ] "=" 0 для всех функций ф , г .

Я спрашиваю, потому что следующее предложение в решении моего домашнего задания по квантовой механике меня раздражает:

Для я ≠ Дж , н ^ я коммутируют друг с другом, и, следовательно, функции н ^ я всегда коммутируют друг с другом.

Где н ^ я "=" а ^ я † а ^ я с Bose-операторами а ^ я † , а ^ я . В мою задачу не входит доказывать это отношение, но само отношение требовалось для решения упражнения.

Обычное физическое доказательство этого происходит непосредственно путем разложения Тейлора. ф , г .
Но ф и г не обязательно быть аналитическим, поэтому у физика осталась бы ужасная головная боль: P
Сначала нужно определить, что ф ( а ) средства для операторов. Как отметил AcuriousMind, расширение Тейлора — это обычный способ, который, вероятно, охватывает все функции операторов, с которыми вы когда-либо сталкивались. Но есть и неаналитические, например ф ( Икс ) "=" е − 1 / Икс . Более общее определение состоит в том, чтобы перейти к базису, где А диагонализируется (если А является наблюдаемой, то это всегда должно быть возможно), и в собственном базисе А , ф ( А ) действует по диагонали и точно определен. С помощью этого можно записать ф ( А ) на любом другом основании.
(продолжение) Используя это определение, поскольку а , б коммутировать, они могут быть одновременно диагонализированы и [ ф ( А ) , ф ( Б ) ] "=" 0 тривиально следуют из того факта, что диагональные матрицы всегда коммутируют друг с другом. Хотя мы доказываем это на конкретном базисе, это базисно-независимое утверждение, и мы закончили.
@MengCheng К сожалению, я не могу отметить ваш ответ как принятый, но спасибо за понятное объяснение.

Ответы (1)

Для нормальных элементов в C*-алгебре можно выполнять непрерывное функциональное исчисление, т. е. если а нормальный оператор, то ф ( а ) хорошо определена для любого ф е С ( о ( а ) ) . С о ( а ) всегда компактен, вы можете использовать Стоун-Вейерштрасс для записи ф как равномерный предел многочленов от одной комплексной переменной и комплексно-сопряженной ей. Следовательно, вы можете проверить, что вам нужно на полиномах. Если а и б ездить, то а 2 и б 2 ездить и так далее. Следовательно ф ( а ) и г ( б ) коммутировать для любого ф е С ( о ( а ) ) и г е С ( о ( б ) ) . Для алгебр фон Неймана этот аргумент можно применить к борелевским функциям.

Это очень хороший ответ, но я бы изменил пару вещей, чтобы сделать его более понятным. Во-первых, я думаю, что может быть опечатка в «Следовательно, вы можете...», потому что в настоящее время это читается так, как будто проверка полиномов выводится из вашего аргумента Стоуна-Вейерштрасса: я знаю, что вы этого не говорите, но я думаю это может означать это. Вы используете SW, чтобы расширить результат, действительный для полиномов, до С ( о ( а ) ) . Так почему бы сначала не написать бит полиномов (тем более, что ОП, вероятно, видел этот аргумент в учебнике), а затем перейти к универсальному пределу с помощью SW.
Я также думаю, что вам нужно где-то сказать, что а предполагается ограниченным, поэтому о ( а ) компактен. Это предположение, о котором не говорил ОП, а также « о ( а ) всегда компактен», в противном случае он, вероятно, выйдет за рамки левого поля для OP.
Кроме того, чтобы дополнить, ответ как таковой не применяется к числовому оператору OP, который является самосопряженным, но неограниченным. Для самосопряженных коммутирующих операторов (а это означает не только [ а , б ] "=" 0 на подходящей плотной области, но все спектральные проекторы коммутируют) доказательство непосредственно дается спектральной теоремой в форме функционального исчисления для всех измеримых функций (относительно общего спектрального семейства).
@WetSavannaAnimalakaRodVance Спасибо за ваши комментарии. Действительно, вы правы в том, что сначала проверяется свойство полиномов, а затем с помощью SW можно распространить его на непрерывные функции. Из моего предположения, что операторы принадлежат C*-алгебре, следует, что они ограничены, так что это условие уже указано в ответе.
Ах, непрерывность операторов C* дает вам это право?: понял! Спасибо.
Да. В более общем случае каждый элемент C*-алгебры имеет конечную норму и каждый * -гомоморфизм (как и представление) всегда сжимающий.
Докажите: AAA и BBB коммутируют, поэтому функции f(A)f(A)f(A) и g(B)g(B)g(B) всегда будут коммутировать друг с другом [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v