Коммутаторы с функциями

Question

Коммутаторы с функциями

янкифан11

Ищу коммутатор:

[е^{а д}, п]

$[\mathrm e^{aq},p]$ Мой подход заключается в том, чтобы Тейлор расширил функцию:

[\sum_{н} \frac{1}{н!} (а д)^{н}, п]

$\left[\sum_n \frac{1}{n!}(aq)^n,p\right]$ я знаю это

[q^{n}, p] = n i ℏ q^{n - 1}

$[q^n,p]=ni\hbar q^{n-1}$ Итак, как мне объяснить

n

$n$ коммутаторы?

джошфизика

Уточните, пожалуйста, что вы имеете в виду под «учетом»?

n

$n$ коммутаторы? Вы ищете доказательство последнего отношения, о котором вы упоминаете, которое вы уже знаете?

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/78222/2451 и ссылки в нем.

Ответы (3)

Коммутаторы с функциями

Уточните, пожалуйста, что вы имеете в виду под «учетом»? $n$ коммутаторы? Вы ищете доказательство последнего отношения, о котором вы упоминаете, которое вы уже знаете?
Связано: physics.stackexchange.com/q/78222/2451 и ссылки в нем.

То, что я · Answer 1

Более общее отношение, чем $\left[q^n, p \right] = i\hbar nq^{n-1}$ является

[ф (А), Б] "=" [А, Б] \frac{\partial ф}{\partial А}

$\left[f(A), B\right] = \left[A, B \right]\frac{\partial f}{\partial A}$ если

[A, [A, B]] = 0

$\left[A, \left[A, B \right]\right] =0$ . В этом случае мы можем использовать это, потому что

[q, p] = i ℏ

$\left[q, p \right] =i\hbar$ это просто число, и оно коммутирует со всем. Таким образом, вы можете просто применить эту формулу напрямую.

Еще одна вещь, которую, возможно, стоит отметить, заключается в том, что, поскольку производная является линейным оператором, вы можете применять ее к отдельным членам бесконечной суммы.

Как рассчитать более общий случай, когда [A,B] — другой оператор? Он идет до или после производной?
Если $[A,B]$ коммутирует с $A$ , то это то же самое и не важно, до или после. Если $[A, B]$ не ездит с $A$ , то выражение в целом усложняется. Предположим, что f имеет разложение Тейлора по степеням $A^n$ . Затем $[A^n, B] = A^{n-1}[A,B] + [A^{n-1}, B]A$ . По рекурсии это $[A,B]nA^{n-1}$ если $[A, [A, B]=0$ . Если нет, то вы не можете изменить порядок терминов, поэтому $[A,B]$ оказывается зажатым между $A$ с. Но это можно сделать рекурсивно из $[A^n, B] = A^{n-1}[A,B] + [A^{n-1}, B]A$ .

Кайл Канос · Answer 2

Если $q$ и $p$ удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению, $[q,p]=i\hbar$ , то можно использовать соотношение между классическими скобками Пуассона и коммутаторами:

\begin{matrix} (1) & {[А, Б]}_{классический} \to \frac{1}{я ℏ} [А, Б] \end{matrix}

$\left[A,B\right]_\text{classical}\to\frac{1}{i\hbar}\left[A,B\right]\tag{1}$ я предполагаю

A = A (q, p)

$A=A(q,p)$ и

B = B (q, p)

$B=B(q,p)$ на данный момент. Классические скобки Пуассона задаются формулой

\begin{matrix} (2) & {[А, Б]}_{классический} "=" \frac{\partial А}{\partial д} \frac{\partial Б}{\partial п} - \frac{\partial А}{\partial п} \frac{\partial Б}{\partial д} \end{matrix}

$\left[A,B\right]_\text{classical}=\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}\tag{2}$ Поскольку у вас есть

A = A (q)

$A=A(q)$ и

B = p

$B=p$ , то уравнение (1) через уравнение (2) дает

\begin{matrix} (3) & [А (д), п] "=" я ℏ \frac{\partial А (д)}{\partial д} \end{matrix}

$\left[A(q),p\right]=i\hbar\frac{\partial A(q)}{\partial q}\tag{3}$

Однако соотношение в (1) не всегда корректно (зависит от «красивости» функции $A(q)$ , см. это и это ). Как обсуждалось в другом моем ответе (среди прочего), потребуется скобка Мойала , которая вводит поправочный коэффициент, пропорциональный $\hbar^2$ . Однако для актуальной проблемы $A(q)\sim\exp(aq)$ , (3) будет достаточно.

Это не всегда верно! Вычисление скобки через классическую скобку Пуассона в общем случае справедливо только для квадратичных функций. См. Каноническое квантование в Википедии.
@G.Bergeron: Правильно. Я обсуждаю это в более позднем ответе на аналогичный вопрос; Я просто не исправил это.

М. Ветер · Answer 3

Мне кажется, что подход, сформулированный ОП, совершенно верен! ОП демонстрирует, что он знаком с коммутатором между q^n и p. Чтобы использовать эту формулу, он предлагает применить к целевой функции разложение в ряд Тейлора. Это нормально.

Единственная проблема в том, что ОП струсил и остановил свои расчеты на этом этапе. На самом деле конечный результат был почти виден. Подстановка специального коммутатора в ряд Тейлора приводит к формуле, которую можно легко пересуммировать. Это просто другая версия ряда Тейлора экспоненциальной функции!

Коммутаторы с функциями

янкифан11

джошфизика

Qмеханик

Ответы (3)

То, что я

подушечки

То, что я

Кайл Канос

Г. Бержерон

Кайл Канос

М. Ветер

Помогите упростить уравнение коммутатора

Коммутатор положения и импульса

Коммутатор с квадратным корнем

Докажите, что [A,Bn]=nBn−1[A,B][A,Bn]=nBn−1[A,B][A,B^n] = nB^{n-1}[A,B]

Квантовый коммутатор

Коммутация оператора углового момента [закрыто]

Как получить я \ hbar \ гидроразрыва {\ парциальное F (\ vec p)} {\ парциальное p_i}

Фундаментальные коммутационные соотношения в квантовой механике

Отличие антикоммутатора [закрыто]

Докажите: AAA и BBB коммутируют, поэтому функции f(A)f(A)f(A) и g(B)g(B)g(B) всегда будут коммутировать друг с другом [закрыто]