Фундаментальные коммутационные соотношения в квантовой механике

Я также знаю, что L и S коммутируют, но я не уверен, почему. Я слышал, что это просто потому, что они действуют на разностные переменные, но я не совсем понимаю, что это значит. Есть ли способ показать это явно?

Предположим, что у нас есть два гильбертовых пространства$H_1$и$H_2$, оператор$A_1$действующий на$H_1$, и оператор$A_2$действующий на$H_2$. Позволять$H = H_1 \otimes H_2$. Тогда мы можем определить$A_1$и$A_2$на$H$путем определения

$$\begin{align} A_1(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) &= A_1|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle \\ A_2(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) &= |a_1\rangle \otimes A_2|a_2\rangle \end{align}$$ куда $|a_1\rangle \in H_1, |a_2\rangle \in H_2$; и распространяется линейно на все $H$. Затем $$\begin{align} A_1 \circ A_2(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) &= A_1(|a_1\rangle \otimes A_2|a_2\rangle) \\ &= A_1|a_1\rangle \otimes A_2|a_2\rangle \\ &= A_2(A_1|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) \\ &= A_2 \circ A_1(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) \end{align}$$ поэтому коммутатор обращается в нуль на всех чистых тензорах, а значит, и на всех $H$.

Именно такая ситуация у нас с операторами$L$и$S$. В общем, волновая функция частицы живет в пространстве тензорного произведения. Пространственная часть волновой функции живет в одном пространстве, пространстве интегрируемых с квадратом функций на$\mathbb{R}^3$. Спиновая же часть живет в спинорном пространстве, т. е. в некотором представлении$SU(2)$.$L$действует на пространственную часть, тогда как$S$действует на спиновую часть.

Каковы оставшиеся коммутационные соотношения между$J$,$J^2$,$L$,$L^2$,$S$, и$S^2$?

Вы должны быть в состоянии решить их самостоятельно, используя уже известные вам коммутационные и антикоммутационные соотношения, а также свойства коммутаторов и антикоммутаторов. Например,

$$[J_i, L_j] = [L_i + S_i, L_j] = [L_i, L_j] + [S_i, L_j] = i\hbar\epsilon_{ijk} L_k$$

Так же:

$$\begin{align} [J_i^2, L_j] &= J_i[J_i, L_j] + [J_i, L_j]J_i \\ &= J_i(i\hbar \epsilon_{ijk}L_k) + (i\hbar\epsilon_{ijk}L_k)J_i \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}\{J_i, L_k\} \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}\{L_i + S_i, L_k\} \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}(\{L_i, L_k\} + \{S_i, L_k\}) \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}(2\delta_{ik} I + 2S_i L_k) \\ &= 2i\hbar\epsilon_{ijk} S_i L_k \end{align}$$ где мы использовали тот факт, что $L_i$и $S_j$коммутируют, линейность $[,]$и $\{,\}$, и тождество

$$[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B$$

Не забудьте бозонные операторы рождения/уничтожения (операторы гармонического осциллятора)

$[a,a^{\dagger}] = 1$

и фермионные аналоги

$\{ c, c^{\dagger} \} \equiv cc^{\dagger}+c^{\dagger} c = 1$