Должна ли двумерная (в реальном пространстве) волновая функция всегда быть произведением двух одномерных волновых функций (т. е. всегда разделима)?

Question

Должна ли двумерная (в реальном пространстве) волновая функция всегда быть произведением двух одномерных волновых функций (т. е. всегда разделима)?

Уфизы

В формализме первого квантования для квантовой механики многих частиц пусть $|x \rangle$ и $|y \rangle$ быть двумя базисами для двух частиц $A$ и $B$ : $\psi_A(x) = \langle x | \psi_A \rangle$ и $\psi_B(y) = \langle y | \psi_B \rangle$ .

Насколько я понимаю, $| \vec{r} \rangle = |x\rangle \otimes |y\rangle$ , где $\vec{r}$ является обычным двумерным вектором положения. Состояние многих частиц $|\Psi \rangle = |\psi_A \rangle \otimes |\psi_B \rangle$ и волновая функция тогда:

Ψ (\vec{р}) "=" ⟨ \vec{р} | Ψ ⟩ "=" (⟨ Икс | \otimes ⟨ у |) (| ψ_{А} ⟩ \otimes | ψ_{Б} ⟩) "=" ψ_{А} (Икс) ψ_{Б} (у)

$\Psi(\vec{r}) = \langle \vec{r} | \Psi \rangle = (\langle x|\otimes \langle y|)(|\psi_A \rangle \otimes |\psi_B \rangle)= \psi_A(x)\psi_B(y)$ Таким образом, это означает, что такая двухчастичная волновая функция в 2D всегда будет иметь форму произведения. Верно ли это вообще или следует из того факта, что частицы изначально были ограничены одним измерением?

Если да, то если у нас есть одна частица, движущаяся в двух измерениях, на языке линейной алгебры, какой объект $(\langle x | \otimes \langle y|) |\psi\rangle$ есть (другими словами, если мы рассматриваем двумерный вектор положения как тензорное произведение двух гильбертовых пространств $x$ и $y$ , которые размещают одночастичную волновую функцию $|\psi\rangle$ принадлежать)?

тпаркер

Я не понимаю, рассматриваете ли вы волновую функцию для двух частиц в одном измерении (для двумерного конфигурационного пространства), для одной частицы в двух измерениях (другое двумерное конфигурационное пространство) или для двух частиц в двух измерениях (четырехмерное конфигурационное пространство). пространство конфигурации).

Ответы (1)

Должна ли двумерная (в реальном пространстве) волновая функция всегда быть произведением двух одномерных волновых функций (т. е. всегда разделима)?

Я не понимаю, рассматриваете ли вы волновую функцию для двух частиц в одном измерении (для двумерного конфигурационного пространства), для одной частицы в двух измерениях (другое двумерное конфигурационное пространство) или для двух частиц в двух измерениях (четырехмерное конфигурационное пространство). пространство конфигурации).

Дж. Мюррей · Answer 1

Нет, в целом это не так. Причина в том, что вы предполагаете, что общее двухчастичное состояние задается выражением $|\psi_A \rangle\otimes |\psi_B\rangle$ , а это не так. Общее двухчастичное состояние представляет собой линейную комбинацию состояний произведения, т.е.

| Ψ ⟩ "=" \sum_{н} с_{н} | ψ_{А_{н}} ⟩ \otimes | ψ_{Б_{н}} ⟩

$|\Psi\rangle = \sum_n c_n |\psi_{A_n}\rangle \otimes |\psi_{B_n}\rangle$ В позиционном базисе мы бы написали

| Ψ ⟩ "=" \int д {Икс}_{1} \int д {Икс}_{2} ψ ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}) | {Икс}_{1} ⟩ \otimes | {Икс}_{2} ⟩

$|\Psi\rangle = \int \mathrm dx_1 \int \mathrm dx_2 \ \psi(x_1,x_2) |x_1\rangle \otimes |x_2\rangle$

где $\psi(x_1,x_2)$ является элементом $L^2(\mathbb R)\otimes L^2(\mathbb R)\simeq L^2(\mathbb R^2)$ и не обязан факторировать. Если это фактор , то $\psi(x_1,x_2) = \psi_A(x_1) \psi_B(x_2)$ , то мы можем написать

| ψ ⟩ "=" (\int д {Икс}_{1} ψ_{А} ({Икс}_{1}) | {Икс}_{1} ⟩) \otimes (\int д {Икс}_{2} ψ_{Б} ({Икс}_{2}) | {Икс}_{2} ⟩) "=" | ψ_{А} ⟩ \otimes | ψ_{Б} ⟩

но нет причин ожидать, что это будет истинным априори . Фактически, если две частицы являются неразличимыми фермионами, то $\psi(x_1,x_2) = -\psi(x_2,x_1)$ , что достаточно, чтобы показать, что они не могут находиться в состоянии произведения.

Вам может быть интересен этот ответ Я написал о разнице между прямым продуктом $\mathcal H_A \times \mathcal H_B$ и тензорное произведение $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ . Ключевым отличием является центральная точка этого ответа, а именно то, что элементы первого представляют собой все состояния продукта, а элементы второго представляют собой линейные комбинации состояний продукта. Моделирование составных систем с использованием последней конструкции открывает возможность наличия состояний, не являющихся продуктом, которые обычно называют запутанными в контексте физики.

Есть мысли по поводу второй части? А именно, как интерпретировать $|\psi \rangle$ во втором уравнении, если оно представляет собой единственную частицу, движущуюся в 2-мерном пространстве ( $x_1$ и $x_2$ в уравнении)? Какому гильбертовому пространству оно принадлежит?
@UChat У меня сложилось впечатление, что вы спрашивали о двух частицах, каждая из которых движется в 1D. Вы имели в виду, что каждая частица движется в 2D?
Нет, это была первая часть. В качестве отдельного, но связанного вопроса, если мы рассмотрим одну частицу, движущуюся в 2D; $\psi (x,y) = \langle x,y|\psi\rangle = (\langle x| \otimes \langle y|)|\psi\rangle$ . Соответствует ли «одночастичный» вектор состояния $|\psi \rangle$ для этого случая принадлежат пространству тензорного произведения, натянутому на $|x \rangle \otimes |y \rangle$ ?
@UCat Одночастичная волновая функция $\psi(x,y)$ принадлежит $L^2(\mathbb R^2)$ , да. Гильбертово пространство, лежащее в основе одной частицы, движущейся в двух измерениях, изоморфно гильбертовому пространству, лежащему в основе двух различных частиц, движущихся в одном измерении. Однако если частицы неразличимы, это уже не так.

Должна ли двумерная (в реальном пространстве) волновая функция всегда быть произведением двух одномерных волновых функций (т. е. всегда разделима)?

Уфизы

тпаркер

Ответы (1)

Дж. Мюррей

Уфизы

Уфизы

Дж. Мюррей

Уфизы

Дж. Мюррей

Квантовое состояние в расширенном базисе или просто ортонормированное множество

Что такое физические состояния в картине Гейзенберга?

Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Что такое чистые состояния и операторы плотности?

Что именно подразумевается под квантовым состоянием в КМ?

Что значит применить оператор к состоянию?

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?

Гильбертово пространство в представлении Дирака

Что представляют собой кеты на QFT?

Запутанность в квантовой физике [дубликат]