Каково геометрическое (или независимое от представления) определение центрального заряда алгебры Ли gg\mathfrak{g}?

Существует общий способ (Weinberg QFT Vol.1 P83) ввести центральный заряд , который я не могу понять. Учитывая унитарное проективное представление U ( г ) группы Ли г .

(1) U ( г 1 ) U ( г 2 ) "=" е я ф ( г 1 , г 2 ) U ( г 1 г 2 )

Использование местных координат { Икс а } рядом с элементом идентичности, г 1. г 2 "=" г ( Икс 1 ) . г ( Икс 2 ) "=" г ( Икс 3 ( Икс 1 , Икс 2 ) )

(2) Икс 3 а ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" Икс 1 а + Икс 2 а + γ а б с Икс 1 б Икс 2 с + ⋯
(3) ф ( г 1 , г 2 ) ≡ ф ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" γ б с Икс 1 б Икс 2 с + ⋯
(4) U ( г ( Икс ) ) "=" 1 + я Икс а Т а + 1 2 Икс а Икс б Т а б + ⋯
с Т а Эрмитов и Т а б "=" Т б а .

Замещение ( 2 , 3 , 4 ) в ( 1 ) ,

(5) − Т с Т б "=" я γ с б 1 + я γ а с б Т а + Т с б

Определив,

ф а б с ≡ γ а с б − γ а б с ф б с ≡ γ с б − γ б с
(6) [ Т б , Т с ] "=" я ф а б с Т а + я ф б с 1
Они звонят ф б с как центральный заряд.

Мои вопросы:

1. Этот вывод в значительной степени зависит от координат и представления, которые мне незнакомы. Насколько мне известно, учитывая группу Ли г , Т а должен быть касательным вектором в элементе идентичности, то есть Т а е Т е г "=" г . Коммутатор алгебры Ли должен оставаться в алгебре Ли. Почему можно я ф б с 1 происходят в ( 6 ) с 1 не является элементом г .

2.Похоже, речь идет о конкретном представлении ( 1 ) , так как для данной абстрактной группы Ли г , е я ф ( г 1 , г 2 ) не может встречаться в групповом продукте. Только после того, как вы найдете проективное представление ( 1 ) , т.е. ф ( г 1 , г 2 ) ненулевой, таким образом можно определить центральный заряд. Однако в учебнике также говорится, что для односвязной группы Ли она может иметь проективное представление, когда центральный заряд алгебры Ли нетривиален. Нет ли здесь какого-то кругового аргумента?

Или, может быть, центральный заряд определен для конкретного представительства. Тогда вопрос заключается в достаточном и необходимом условии для алгебры Ли г иметь представление с нетривиальным центральным зарядом?

3. Итак, каково геометрическое определение центрального заряда? Должно быть какое-то определение центрального заряда, не зависящее от представления и координат.

↑ Кто они? Какой учебник? Какая страница?
@Qmechanic Вайнберг Том 1, стр. 83
Вы также проверили презентацию Hamermesh? С алгебраической точки зрения алгебра Ли имеет нетривиальное центральное расширение каждый раз, когда ее вторая группа когомологий Шевалле-Эйленберга непуста как множество. Тогда оказывается, что это расширение является алгеброй Ли прямого произведения группы Ли и группы когомологий.
Также стоит проверить работу Партасарати. Он продолжил с того места, где остановился Баргманн.
Этот мой вопрос-ответ может быть вам интересен.
@DanielC Спасибо. Не могли бы вы дать мне ссылку. Высоко ценим.
Я предоставил всю известную мне литературу (кроме работ Джорджа Макки) по теме проективных представлений, групп Ли и расширений алгебры Ли.

Ответы (1)

Очень хорошо написанное резюме темы ACuriousMind, на которое он ссылается в разделе комментариев, обычно должно отвечать на ваши вопросы. Вам нужно просто собрать все это воедино, то есть подумать самостоятельно. Так что не переходите ни к одному из текстов ниже.

Вы попросили меня предоставить какую-то конкретную литературу по теме, которая, вероятно, также знакома ACuriousMind, кроме цитируемого вами источника, то есть 2-й главы Weinberg I.

Дайте-ка подумать.

  • Я бы начал со знаменитой статьи Вали Баргманн «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп», официально опубликованной на http://www.jstor.org/stable/1969831.

  • Тогда я должен быть готов сделать дополнительное чтение из diff. геом. / Текст группы Ли, такой как Helgason, S. - Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства (GSM 34, AMS, 1978), чтобы иметь возможность заняться короткой общей монографией Parthasarathy, K. - Мультипликаторы на локально компактных группах (LNM 93, Springer, 1969) и прикладную монографию к ограниченной группе Пуанкаре, которой является Simms, DJ - Lie Groups and Quantum Mechanics (LNM 52, Springer, 1968, ---+).

  • Переходя к более новой литературе, у нас есть монография Аскарраги, Дж., Искьердо, Дж. - Группы Ли, алгебры Ли, когомологии и некоторые приложения в физике (CUP, 1995), которая может быть суммой всей литературы, цитируемой в двух других абзацы выше и два ниже, а также знаменитую «Геометрию квантовой теории» Варадараджана (глава 7, Springer, 1968).

  • Менее технический подход к группе Пуанкаре по сравнению с Симмсом предлагает Б. Таллер в своей книге « Уравнение Дирака» (Springer, 1992), раздел 2.4, который начинается на странице 62.

  • Самая легкая версия всей темы проективных представлений и расширений группы Ли/алгебры Ли предложена Мортоном Хамермешем в его книге « Теория групп и ее приложения к физическим проблемам» (Dover, 1962, глава 12).

  • Наконец, что не менее важно, все началось с работы Шевалле и Эйленберга, свободно доступной по адресу http://www.ams.org/journals/tran/1948-063-01/S0002-9947-1948-0024908-8/S0002 . -9947-1948-0024908-8.pdf

Каково геометрическое (или независимое от представления) определение центрального заряда алгебры Ли gg\mathfrak{g}?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v