Два вопроса об интеграле по траекториям из книги Полякова "Калибровочные поля и струны"

Мои вопросы об интегралах по путям на мировых линиях из книги Калибровочные поля и струны Полякова. На странице 153, глава 9, он говорит

Начнем со следующего интеграла по путям

$$\begin{align} &\mathscr{H}(x,y)[h(\tau)]=\int_{x}^{y}\mathscr{D}x(\tau)\delta(\overset{\,\centerdot}{x}{}^{2}(\tau)\boldsymbol{-}h(\tau)) \nonumber\\ &=\int\mathscr{D}\lambda(\tau)\exp\left(i\int_{0}^{1}d\tau\lambda(\tau)h(\tau)\right)\int_{x}^{y}\mathscr{D}x(\tau)\exp\left(-i\int_{0}^{1}d\tau\lambda(\tau)\dot{x}^{2}(\tau)\right) \tag{9.8}\label{9.8} \end{align}$$ где$h(\tau)$является метрическим тензором мировой линии.

Действие в (9.8) инвариантно относительно репараметризаций, если преобразовать:

$$\begin{align} x(\tau)&\rightarrow x(f(\tau)) \nonumber\\ h(\tau)&\rightarrow\left(\frac{df}{d\tau}\right)^{2}h(f(\tau)) \tag{9.9}\label{9.9}\\ \lambda(\tau)&\rightarrow\left(\frac{df}{d\tau}\right)^{-1}\lambda(f(\tau)) \end{align}$$

Поляков продолжил следующим заявлением.

Вместо вектора мировой линии удобно ввести$\lambda(\tau)$, скалярный множитель Лагранжа на мировой линии$\alpha(\tau)$:

$$\begin{align} \lambda(\tau)&\equiv\alpha(\tau)h(\tau)^{-1/2} \nonumber\\ \alpha(\tau)&\rightarrow\alpha(f(\tau)) \tag{9.11} \end{align}$$ Так что: $$\begin{align} &\mathscr{H}(x,y)[h(\tau)] \nonumber\\ &=\int\mathscr{D}\alpha(\tau)e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int_{x}^{y}\mathscr{D}x(\tau)\exp\left(-i\int_{0}^{1}d\tau\frac{\alpha(\tau)\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}\right) \tag{9.12} \end{align}$$

1. Мой первый вопрос касается уравнения (9.12). Что там сделал Поляков, так это смело подменил интегральную меру$\mathscr{D}\lambda$к$\mathscr{D}\alpha$. Не упустил ли он фактор Якоби?

$$\mathscr{D}\lambda=\mathscr{D}\alpha\det\left(\frac{\delta\lambda}{\delta\alpha}\right)$$

Второй мой вопрос заключается в следующем.

Он ввел еще один параметр$t$, называемое собственным временем, определяемым как

$$\begin{align} t\equiv\int_{0}^{\tau}\sqrt{h(s)}ds;\quad T\equiv t(1) \tag{9.13} \end{align}$$ и так $$\begin{align} &\mathscr{H}(x,y)[h(\tau)]\equiv\mathscr{H}(x,y;T) \nonumber\\ &=\int\mathscr{D}\alpha\exp i\int_{0}^{T}\alpha(t)dt\int_{x}^{y}\mathscr{D}x\exp-i\int_{0}^{T}\alpha(t)\dot{x}^{2}(t)dt \tag{9.14} \end{align}$$

2. Кто-нибудь может сказать мне, как он вывел уравнение (9.14) с помощью параметра «собственное время»?$t$?

---

Новое издание : как указал @Qmechanics в своем ответе, в уравнении (9.12) отсутствует фактор Якоби. Правильный интеграл по путям должен быть

$$\int\mathscr{D}\alpha(\tau)(h(\tau))^{-1/2}e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int\mathscr{D}x(\tau)e^{-i\int_{0}^{1}\alpha(\tau)\frac{\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}d\tau}.$$

На стр. 152 Поляков начал с двухточечной функции.

$$\begin{align} &G(x,y)=\int\frac{\mathscr{D}x(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}\exp\left(-m\int_{0}^{1}\sqrt{\dot{x}^{2}(\tau)}d\tau\right) \tag{9.6} \\ &=\int\frac{\mathscr{D}h(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}\exp\left(-m\int_{0}^{1}\sqrt{h(\tau)}d\tau\right)\int\mathscr{D}x(\tau)\delta(\dot{x}^{2}(\tau)-h(\tau)) \tag{9.7} \end{align}$$

Тогда, используя приведенный выше скорректированный результат, можно

$$\begin{align} &G(x,y)=\int\frac{\mathscr{D}h(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}\exp\left(-m\int_{0}^{1}\sqrt{h(\tau)}d\tau\right)\cdot \nonumber\\ &\cdot\int\mathscr{D}\alpha(\tau)(h(\tau))^{-1/2}e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int\mathscr{D}x(\tau)e^{-i\int_{0}^{1}\alpha(\tau)\frac{\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}d\tau}. \end{align}$$

Следовательно,

$$G=\int\frac{\mathscr{D}h(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}(h(\tau))^{-1/2}e^{-m\int_{0}^{1}\sqrt{h(\tau)}d\tau}\int\mathscr{D}\alpha(\tau)e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int\mathscr{D}x(\tau)e^{-i\int_{0}^{1}\alpha(\tau)\frac{\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}d\tau}$$

Проблема в том, что якобианский фактор$h^{-1/2}$уже нарушает репараметризационную инвариантность эффективного действия. Какой смысл имеет приведенный выше интеграл по путям?