Свободный распространитель частиц, использующий интегралы по путям

Question

Свободный распространитель частиц, использующий интегралы по путям

Физика
интеграл по путям
квантовая механика

Дитя Сатурна

Я пытаюсь воссоздать некоторую работу, которую профессор объяснил мне в своем кабинете, в частности, получение пропагатора свободных частиц, идущего от $(y,0)$ к $(x,T)$ используя интеграл Фейнмана по траекториям. я пытаюсь воспроизвести

К (Икс, Т; у, 0) "=" \sqrt{\frac{м}{2 π я ℏ Т}} е Икс п [\frac{я м (Икс - у)^{2}}{2 ℏ Т}]

$K(x,T;y,0) = \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar T}}\mathrm{exp}[\frac{im(x-y)^2}{2\hbar T}]$ Вот что я сделал до сих пор:

$K(x,T;y,0) = \int_y^x\mathscr{D}[x(t)]e^{iS[x(t)]/\hbar}.$

Итак, сначала я вычисляю действие:

$S[x(t)] = \int_0^T \frac{1}{2}m\dot{x}^2 \mathrm{d}t$

Мы всегда можем разделить путь $x(t)$ следующим образом: $x(t) = x_{cl} (t) +q(t)$ , где $x_{cl}(t)$ данный

{Икс}_{с л} (т) "=" \frac{(Икс - у) т}{Т} + у

$x_{cl}(t) = \frac{(x-y)t}{T} + y$ классический путь и

q (t)

$q(t)$ представляет собой «квантовую флуктуацию».

Поскольку конечные точки $x(t)$ и $x_{cl}(t)$ то же самое, мы получаем, что $q(0)=q(T)=0$ , а так как любой путь должен быть кусочно дифференцируем, мы можем представить $q(t)$ в ряд Фурье:

д (т) "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} а_{н} с я н (\frac{н π т}{Т})

$q(t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n sin(\frac{n\pi t}{T})$ .

Затем действие

С [Икс (т)] "=" \frac{1}{2} м \int_{0}^{Т} (\frac{Икс - у}{Т})^{2} + 2 \frac{Икс - у}{Т} \dot{д} + {\dot{д}}^{2} г т

$S[x(t)] = \frac{1}{2}m\int_0^T (\frac{x-y}{T})^2 + 2\frac{x-y}{T} \dot{q} + \dot{q}^2 \mathrm{d}t$

Первый член тривиален, второй член обращается в нуль в силу основной теоремы исчисления и того факта, что $q(t)$ исчезает на концах. Теперь для последнего члена мы получаем

\int_{0}^{Т} {\dot{д}}^{2} г т "=" \int_{0}^{Т} \sum_{н "=" 1}^{\infty} \sum_{м "=" 1}^{\infty} а_{н} а_{м} (\frac{н π}{Т}) (\frac{м π}{Т}) с о с (\frac{н π т}{Т}) с о с (\frac{м π т}{Т}) г т

$\int_0^T \dot{q}^2 \mathrm{d}t = \int_0^T \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty} a_n a_m (\frac{n\pi}{T}) (\frac{m\pi}{T})cos(\frac{n\pi t}{T})cos(\frac{m\pi t}{T})\mathrm{d}t$

но из-за ортогональности только $n=m$ термины выживают, поэтому мы получаем

"=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} (\frac{н π}{Т})^{2} \int_{0}^{Т} а_{н}^{2} с о с^{2} (\frac{н π т}{Т}) г т "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{(н π)^{2}}{2 Т} а_{н}^{2}

$= \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n\pi }{T})^2\int_0^T a_{n}^2cos^2(\frac{n\pi t}{T})\mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n\pi)^2}{2T}a_{n}^2$ .

Теперь, чтобы сделать фактический интеграл пути, «все возможные пути» будут соответствовать «всем возможным $q(t)$ 's", что означало бы все возможные $a_n$ с. Таким образом, наш интеграл по путям становится:

К (Икс, Т; у) "=" \underset{Н \to \infty}{лим} \int_{- \infty}^{\infty} г а_{1} \dots \int_{- \infty}^{\infty} г а_{Н} е Икс п {\frac{я м}{2 ℏ} [\frac{(Икс - у)^{2}}{Т} + \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{(н π)^{2}}{2 Т} а_{н}^{2}]}

$K(x,T;y) = \lim_{N\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}a_1\dotsi\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}a_N \mathrm{exp}\{\frac{im}{2\hbar}[\frac{(x-y)^2}{T} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n\pi)^2}{2T}a_{n}^2]\}$

Теперь первый член в экспоненте явно такой же, как и в исходном пропагаторе, однако для других интегралов я получаю бесконечное количество интегралов, которые бесконечны! Где мои рассуждения или алгебра ошибаются?

PS Я знаю, что, вероятно, есть более простой способ сделать это, но, поскольку мы начали с этого, я хочу знать, как это можно сделать с помощью этого метода.

Ответы (2)

Свободный распространитель частиц, использующий интегралы по путям

Эмилио Писанти · Answer 1

В дополнение к ответу Джонатана мне кажется, что интегралы, о которых вы беспокоитесь, на самом деле не бесконечны:

\int_{- \infty}^{\infty} г а_{1} \dots \int_{- \infty}^{\infty} г а_{Н} е^{\frac{я м}{2 ℏ} \sum_{н "=" 1}^{Н} \frac{(н π)^{2}}{2 Т} а_{н}^{2}} "=" \prod_{н "=" 1}^{Н} \int_{- \infty}^{\infty} г а_{н} е^{я \frac{м π^{2}}{4 ℏ Т} н^{2} а_{н}^{2}}

$\int_{-\infty}^\infty da_1\cdots \int_{-\infty}^\infty da_N e^{\frac{im}{2\hbar}\sum_{n=1}^N\frac{(n\pi)^2}{2T}a_n^2} =\prod_{n=1}^N\int_{-\infty}^\infty da_n e^{i\frac{m \pi^2}{4\hbar T}n^2 a_n^2}$ и каждый из отдельных интегралов является интегралом Френеля с конечным результатом, включая нетривиальную фазу. Однако

a_{n}

$a_n$ являются длинами и, следовательно, несут информацию о размерах, так что ваш окончательный результат (пропорциональный

(ℏ T / m)^{N / 2}

$(\hbar T/m)^{N/2}$ из размерного анализа) ошибочен некоторыми

N

$N$ -зависимая константа, полученная в результате нормализации меры. Исправление этого должно позволить вам продолжить веселье.

Поскольку пределы $-\infty \to \infty$ , каждый фактор является (аналитически продолженным) гауссианом, который явно вычислим без каких-либо специальных функций. Это именно то, что происходит при кусочно-линейной регуляризации, так что это хороший признак того, что правильный ответ обязательно появится (как только $N$ -зависимая нормировка).
На самом деле вам не нужно аналитически продолжать гауссиан. Интеграл сходится как есть (хотя, конечно, медленнее), и это интеграл Френеля того типа, который наблюдается в оптике. Чтобы было понятнее, измените на $u=v^2$ в $\int_0^\infty \cos(v^2) dv=\int_0^\infty \cos(u)\frac{du}{2\sqrt{u}}$ , который сходится условно.

Джонатан · Answer 2

Я не проверял детали вашего метода, но обычный способ вычисления интеграла по путям в КМ состоит в том, чтобы аппроксимировать траекторию $x(t)$ как кусочно-линейная функция, с $N$ "штуки", а затем доводя до предела $N \to \infty$ . Теперь абсолютно ключевая часть этой процедуры заключается в том, что для каждого $N$ интеграл появляется с некоторым весом $C_N$ (что явно вычислимо), и это предел $C_N \int \prod_{i=1}^N dx_i \cdots$ которое существует (и равно пропагатору), а не наивный предел $\int \prod_{i=1}^N dx_i$ .

В вашей настройке вы должны учитывать, что для каждого $N$ , пространство тригонометрических полиномов степени не выше $N$ (т.е. пути $x(t) = \sum_{n=-N}^N a_n \sin(n\pi t/T$ ). Сравнивая с уравнением Шрёдингера, можно найти соответствующую константу $C_N$ . Тогда это предел $C_N \int \prod_{n=-N} da_n \cdots$ который будет стремиться к пропагатору.

Точнее говоря, более правильный вариант интеграла по путям относится к действию первого порядка, т.е.

\int Д Икс Д п е^{\frac{я}{ℏ} \int п \dot{д} - ЧАС г т}

$\int \mathcal{D} x \mathcal{D} p\ e^{\frac{i}{\hbar} \int p \dot{q} - H dt}$ Потому что

x (t)

$x(t)$ и

p (t)

$p(t)$ канонически сопряжены, "мера"

D x D p

$\mathcal{D}x \mathcal{D}p$ является естественным и не требует константы, зависящей от регуляризации (т.

C_{N}

$C_N$ упомянутое выше). Для большинства теорий

p

$p$ зависимость выше является гауссовой, поэтому мы можем ее проинтегрировать. Однако , хотя это часто бывает удобно, результирующая мера имеет вид

C D x

$C \mathcal{D}x$ , где постоянная

C

$C$ зависит от регуляризации.

Надеюсь, это было достаточно ясно, чтобы дать вам представление о том, как завершить вычисления, но достаточно расплывчато, чтобы не испортить вам (забавные!) детали. Если вы все еще застряли, сообщите мне об этом в комментарии, и я предоставлю вам более подробную информацию.

Свободный распространитель частиц, использующий интегралы по путям

Дитя Сатурна

Ответы (2)

Эмилио Писанти

Джонатан

Эмилио Писанти

Джонатан

Подробнее об интегральной формуле пути Фейнмана в лекции Брайана Кокса и ее последствиях

Каковы минимальные постулаты для выполнения квантовой механики в формулировке интеграла по путям, не зная операторной формулировки?

Гамильтониан с двумя состояниями в континуальном интеграле Фейнмана

Получение квантового гамильтониана для заряженной частицы из формулы континуального интеграла

Вывод лагранжевой формы интеграла Фейнмана по траекториям посредством интегрирования по Гауссу

Интеграл по траекториям в евклидовой теории поля

Ангармонический осциллятор QM - диаграммы Фейнмана, расчет свободной энергии

Включает ли интеграл Фейнмана разрывные траектории?

Интеграл по траекториям Фейнмана и дискретизация по энергии?

Вывод Фейнмана уравнения Шрёдингера. Потенциальная пространственная зависимость